Probleme BacES Groupe2 1992

PROBLEME 1 GROUPE2 1992

On se propose d'étudier des fonctions et leur représentation graphique, puis d'en voir une application économique.

Partie A - Etude de fonctions
Soit la fonction numérique C définie dans [0 ; 300] par :

Calculer C '( x ), C ' désigne la fonction dérivée de C.
Etablir le tableau de variations de C ' sur [0 ; 300] et en déduire son signe.
On rapporte le plan ( P ) au repère orthogonal (O ; i , j ) (unités graphiques : 0,5 cm pour 10 unités sur l'axe des abscisses et 0,5 cm pour 10 000 unités sur l'axe des ordonnées).
On appelle (C ) la courbe représentative de C dans ( P ). On note A le point de (C ) d'abscisse 150.
Chercher une équation de T, la tangente à (C ) en A.
En utlisant le sens de variations de C ' tel qu'il a été établi dans la question 1., indiquer la position de (C ) par rapport à T.
Constuire la courbe (C ) et T.

Partie B - Application économique
Pour une entreprise E dont la production peut varier de 0 à 300 unités, le coût total de fabrication de x unités est donné par la fonction :

On appelle coût marginal la dépense occasionnée par la production d'un objet supplémentaire ; On choisit comme modélisation de ce couût marginal C_m (x) = C ' (x ) On suppose que l'entreprise est en situation de monopole, ce qui a pour effet que la demande est uniquement fonction du prix
La relation liant le prix de vente p et la demande x (en unités) est :

{autrement dit, quand x objets sont vendus, chacun l'est au prix p( x ) }

Calculer la recette totale R( x ) pour la vente de x unités.
On appelle recette marginal l'augmentation de recette procurée par la vente d'un objet supplémentaire.
On modélise cette recette marginale par : r_m( x ) = R ' (x ) où R ' est la fonction dérivée de R Pour quelle valeur de x la recette marginale est-elle égale au coût marginal ?
Montrer que le bénéfice pour la production et la vente de x unités est donné par : Calculer B ' (x ) , où B ' représente la fonction dérivée de B.
En déduire que le bénéfice est maximum quand la recette marginale est égale au coût marginal.
Que vaut ce bénéfice maximum ?