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PROBLEME 3:


On considère une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle [1 ; 6].
On appelle Cf la courbe de f dans le plan muni d'un repère orthonormé.( Unité = 2cm)
Cf passe par les point: A(1;0) , B(2;1) , C(3;3) , D(4;4) et E(6;1).
Les tangentes à Cf aux points A et D sont parallèles à l'axe des abscisses.
La tangente (T) à Cf au point E passe par le point F( 5; 5) et cette tangente est au-dessus de Cf.
La droite (DE) est en-dessous de Cf sur l'intervalle [4 ; 6] et sinon, au-dessus.
f est strictement croissante sur [1 ; 4 ] et stritement décroissante sur [ 4 ; 6 ].

Partie A:

  1. Formez le tableau de variations de f.
  2. Donnez alors l'allure de la courbe de f en tenant compte de tous les renseigenemnts donnés par l'énoncé.
  3. Quelle est un équation de (T)? Quelle est la valeur de f'(6)?
  4. Tracez la droite (DE) et donnez une équation de cette droite sous la forme : y = ax + b

Partie B:
On désigne par g la fonction définie sur l'intervalle ] 1 ; 6 ] par: g(x) = : et par Cg sa courbe représentative.

  1. Calculez g(2) , g(4) et g(6).
  2. Déterminez la limite de g(x) si x tend vers 1. Que pouvez-vous en déduire pour Cg?
  3. Formez le tableau de variations de g sur ] 1 ; 6] en justifiant votre réponse.
  4. Quelle est la valeur de g'(4)? de g'(6)?
  5. Tracez Cg ainsi que ses éventuelles asymptotes et sa tangente au point d'abscisse 4.

Partie C:
G est la partie du plan limitée par:

    1. Pourquoi a-t-on ?
    2. Montrez alors que 5 I .
  2. K est le point d'intersection entre la tangente T et la droite d'équation y = 4 .

    1. Quelles sont les coordonnées de K?

    2. F est la partie du plan limitée par:
      1. la droite d'équation x= 4 ,
      2. la droite d'équation x = 6 ,
      3. l'axe des abscisses,
      4. le segment [ D , K ],
      5. le segment [ K , E ].
      Calculez l'aire de F en unité d'aire.
    3. Expliquez pourquoi I est compris entre 5 et 6,875.
    4. Donnez un encadrement de l'aire de G en cm2.