PROBLEME 6:

Sur le graphique ci-dessous, sont tracées, dans un repère orthogonal, les courbes représentatives (Cf) et (Cg) de deux fonctions f et g, dérivables sur sur l'intervalle [0 ; + [ .

1. Résoudre graphiquement les équations f( x ) =7 et f( x ) = 4
2. Lire graphiquement g( 0 ).
3. Dresser le tableau de variations de la fonction f sur l'intervalle [0;14].
4. En déduire le signe de f ' sur l'intervalle [0;14], où f ' désigne la fonction dérivée de f.

Partie B
La fonction f est la fonction de demande d'un produit, elle met en correspondance le prix f(x) du produit et la quantité x achetée par les consommateurs.
La fonction g est la fonction d'offre, elle met en correspondance la prix g(x) du produit et la quantité x vendue par les producteurs.
La quantité est exprimée en milliers d'unités et le prix en centaines de francs.

I. Interprétation économique
A l'aide de la lecture graphique faite en A , répondre aux questions suivantes:

1. Quelle quantité est achetée par les consommateurs :
   1. si le prix est de 700 F ?
   2. si le prix est de 400 F ?
2. Au-dessous de quel prix les producteurs ne sont-ils pas prêts à vendre?

II. Etude de la recette marginale
LA fonction recette R est définie sur l'intervalle [0;14] par : R( x ) = x.f( x ).
Une valeur approchée de la recette marginale (recette pour le x^ième produit vendu) est donnée par R'(x), où R' est la fonction dérivée de la fontion R.
On remarque que, pour tout réel x de l'intervalle [0;14],

1. Déduire du A.4 le signe de r'(x) - f(x) sur l'intervalle (0;14].
2. Comparer alors, pour tout niveau de production, la recette marginale et le prix de vente de f(x).

III. Equilibre du marché

1. La fonctionf réprésentée sur le graphique est définie sur l'intervalle [0;+[ par: Calculez . Quelle interprétation économique peut-on faire de ce résultat?
2. La fonction g représenteé sur le graphique est définie sur l'intervalle [0;+ [ par : Dans un marché à concurrence pure et parfaite, le prix p₀ quise forme sur le marché selon la " loi de l'offre et de la demande " correspond à l'égalité de l'offre et de la demande, c'est à dire à l'ordonnée du point d'intersection des deux courbes (Cf) et (Cg).
   Soit x₀ l'abscisse du point d'intersection I.
   1. Montrer par le calcul que x₀ est solution de l'équation (E): x³ + 2x² + 54x - 612 = 0
   2. Développer l'expression (x - 6)(x² + 8x + 102), résoudre l'équation (E), et en déduire la valeur de x₀.
   3. Calculer p₀ = f( x₀ ).

IV. Le surplus des consommateurs
Le surplus des consommateurs se définit comme la différence entre le montant maximal que les consommateurs auraient été prêts à payer pour acheter une quantité x₀ et le montant qu'ils payent effectivement.
Ce nombre S_C , en situation de concurrence pure et parfaite, est donné en centaines de milliers de francs par :

1. Calculer S_C.(on peut remarquer q'une primitive de la fonction f sur [0;+ [ est la fonction 40.ln(x + 2))
2. Soit les points O(0;0), P(x₀,;0), I(x₀;p₀) et R(0;p₀).
   Sachant que le produit p₀.x₀ est représenté par l'aire du rectangle OPIR, interpréter graphiquement le surplus des consommateurs.