Bac ES Amérique du Nord 1997

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Problème 8 : Amérique du Nord 1997

Partie A
Soit g la fonction définie sur l'intervalle ]0;+ [ par : g(x) = x2 - 1 + 2ln(x).
  1. Déterminez les limites de la fonction g aux bornes de son intervalle de définition.
  2. Etudiez le sens de variation de g (le tracé de la courbe n'est pas demandé).
  3. Montrez que l'équation g(x) = 0 admet le nombre réel 1 comme unique solution sur ]0;+ [.
  4. De l'étude précédente, déduisez le signe de g(x) en fonction de x.

Partie B
Soit f la fonction définie sur ]0;+ [ par :

f(x) =
  1. Montrez que, pour tout x appartenant à ]0; [, f '(x) et g(x) sont de même signe.
  2. Déterminez les limites de f aux bornes de son intervalle de définition.
  3. Dressez le tableau de variation de f.
  4. On note Cf et G les courbes représentatives des fonctions f et ln dans le plan muni d'un repère orthogonal.
    (Unité graphique = 4cm)
    Etudiez la position de Cf par rapport à G.
    Tracez G et Cf.

Partie C
On désigne par D la domaine représentant sur le graphique précédent l'ensemble des points M dont les coordonnées x et y vérifient.

{ 1 < x < 4

f(x) < y < ln(x)

On note A(D) l'aire, en cm2, de D.
  1. Hachurez D sur le graphique précédent. Exprimez A(D) sous forme d'une intégrale.
    (le calcul n'est pas démandé)
  2. .
      On considère la fonction h, définie sur l'intervalle ]0;+ [ par :
    1. Calculez h'(x). Déduisez-en une primitive sur ]0;. [, de la fonction .
    2. Calculez la valeur exacte de A(D). Donnez-en une valeur décimale approchée à 10-2 près par défaut.