Liste 2 Statistiques ES

Exercice 1 : Liban Juin 2000
Le tableau suivant indique la teneur de l'air en dioxyde de carbone (CO₂), observée depuis le début de l'ère industrielle. Dans le tableau ci-dessous, x_i désigne le rang de l'année et y_i la teneur en CO₂ exprimée en parties par million (ppm).

Année	1850	1900	1950	1990
Rang de l'année x_i	0	50	100	140
Teneur en CO₂ y_i	275	290	315	350

On représenté dans le repère ci-après le nuage de points associés à la série statistiques (x_i ; y_i).

On veut modéliser cette évolution par une fonction dont la courbe est voisine du nuage de points.
Plusieurs types de fonctions semblent utilisables.

Modélisation par une fonction affine.
1. A l'aide d'une calculatrice, donner le coefficient de corrélation linéaire arrondi au centième, de la série (x_i; y_i).
2. A l'aide d'une calculatrice, donner une équation de la droite de régression de y en x par la méthode des moindres carrés, sous la forme y = ax +b, avrc a arrondi au centième et b arrondi à l'unité.
  Représenter cette droite dans le repère ci-dessus.
3. Selon ce modèle, quell teneur en CO2 peut-on prévoir en 2010?
  Placer dans le repère ci-dessus le point M correspondant à cette prévision.
Modélisation par une fonction f définie par : f(x) = 250 + Be^Ax.
On pose z_i = ln(y_i - 250). On admet que la série (x_i ; z_i) a pour coefficient directeur 0,999 et qu'une équation de la droite de régression de z en x par la méthode des moindres carrés est: z = 0,01x + 3,2
1. Selon ce modèle, quelle teneur en CO2 peut-on prévoir en 2010?
  Placer dans le repère ci-dessus le point N correspondant à cette prévision.
2. Donner une équation de la courbe d'ajustement de y en x, sous la forme: y = f(x) = 250 + Be_^Ax, avec A arrondi au centième et B arrondi à l'unité.
3. En déduire des valeurs approchées décimales arrondies à l'unité près de: f(0) ; f(50) ; f(100) ; f(140).
Laquelle des deux prévisions de la teneur en CO2 pour 2010 vous semble la plus plausible? Pourquoi?

Exercice 2Une série simple X = (xi ; ni ) est donnée par le tableau suivant:

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
xi	0	2	3	4	5	10	12	15	20	25
ni	1	2	4	5	6	4	4	3	2	1

a) Calculez l'effectif total de cette série. Formez le tableau des effectifs cumulés croissants puis des effectifs cumulés décroissants. Tracez les courbes des effectifs cumulés croissants et décroissants. Donnez alors une estimation de la médiane de X.b)Calculez la moyenne de X puis la moyenne de X_². Donnez alors la variance de X et son écart-type.
c) On pose alors Y = 2X - 1. Quelle est la moyenne de Y? l'écart-type de Y?

d) Pour a et b réels, on pose Z = aX + b. Quelles sont les valeurs possibles de a et b sachant que la moyenne de Z est 0 et que son écart-type est 1?_CORRECTION

Exercice 3:Deux classes ont obtenu les notes suivantes lors d'un contrôle commun.

Répartion des notes de la classe 1

note	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
effectif	2	2	3	4	5	3	3	2	2	2	1	1

Répartition des notes de la classe 2

note	1	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	18
effectif	1	1	2	4	5	4	3	2	2	2	1	1

On appelle X la série des notes de la classe 1 et Y celle des notes de la classe 2.
1) Représentez graphiquement ces deux séries puis calculez, pour chacune d'elles, la moyenne et l'écart-type.
2) Quelle est la série ayant la plus grande dispersion.

3)Les professeurs réunissent l'ensemble des toutes les notes obtenues par les deux classes.
Quelle est la moyenne de toutes les notes? Quelle est l'écart-type de l'ensemble de toutes les notes?

4) Afin d'harmoniser leurs notations, les professeurs décident que l'ensemble de toutes les notes doit avoir pour moyenne 10 et pour écart-type 3.
Le professeur de la classe 1 pose alors A = aX + b avec a > 0.
i) Quelles valeurs doit choisir ce professeur pour que la série A est pour moyenne 10 et écart-type 3?

Le professeur de la classe 2 pose B = cY + d avec c >0.
ii) Quelles valeurs doit choisir ce professeur pour que la série B est pour moyenne 10 et écart-type 3?

_CORRECTION