Liste 3 Statistiques ES

Exercice 1
 On définit la série dourble suivante (X ; Y).

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
yi 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81

1) Représentez graphiquement cette série double (X ; Y) et déterminez les coordonnées de son point moyen G. Placez ce point sur la figure.

On appelle Mi le point de coordonnées (Xi ; Yi ). On partage alors le nuage de points obtenus en deux "sous-nuages" N1 et N2 , N1 contenant les points Mi pour i dans { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } et N2 contenant les points Mi pour i dans {6 , 7 , 8 , 9 , 10 }.

2) Déterminez les coordonnées du point moyen G1 de N1 et du point moyen G2 de N2. Tracez la droite (G1 G2) et donnez une équation de cette droite sous la forme "y = ax+b". Peut-on considérer que la série (X ; Y) suit un modèle affine?

3)Calculez le coefficient de corrélation linéaire de (X ; Y). Vérifiez que l'équation de la droite de régression de Y par rapport à X par la méthodes des moindres carrés est :
DY/X: y = 9x - 12

Donnez aussi une équation de la droite de regression de X par rapport à Y, DX/Y.
Tracez ces deux droites sur la figure.
CORRECTION

Exercice 2:
On a relevé au cours des huits premiers mois de l'an 2000, l'évolution du nombre de connexions sur un site internet mois par mois.
Tableau 1
Mois Janvier Février Mars Avril Mai Juin Juillet Août
Nombre de connexions en milliers 840 940 1100 1200 1350 1500 1670 1870

On définit alors la série double ( xi ; yi )  (i=1...8) par:
              xi est i-ième mois de l'année 2000 et yi le nombre de connexions durant ce mois.
  1. Représentez la série ( xi ; yi )(i=1...8) puis déterminez les coordonnées du point moyen du nuage de points obtenu.
  2. Quel est le coefficient de corrélation linéaire de la série ( xi ; yi )(i=1...8)?
     Un ajustement linéaire semble-t-il justifié?
  3. On admet que la droite de régression par la méthode des moindres carrés de y par rapport à x a pour équation:
    Dy/x: y = 145x +655
    On définit alors la série ( zi)(i = 1...8) par zi=145xi+165 et la suite de points Zi de coordonnées
     ( xi ; zi ) pour i dans { 1 ; 2 ; 3 ;...; 8 }.
    1. Tracez la droite Dy/x puis placez les points Zi.
    2. Calculez les termes de la série ( zi)(i = 1...8). Vous présenterez les résulats sous forme de tableau.
    3. On pose ei = yi - zi pour i dans { 1 ; 2 ; 3 ; ...; 8 }
      1. A quoi correpond ei ?
    4. Calculez la somme S2 = (e1)²+ (e2)² + ··· +(e8)i² ?
      1. Vérifiez que S2 = 7500.
      2. Que peut-on dire de Dy/x et de S2?
  4. Au lieu de prendre un modèle linéaire, le gérant de ce site décide de prendre comme modèle d'évolution du nombre de connexions sur le site la fonction suivante:
    Yi = 840(1,12)xi-1

    On pose alors Ei = yi - Yi

    1. Calculez la série des Yi puis celle des Ei. Vous effectuerez les calculs en arrondissant à l'entier le plus proche.
    2. Vérifiez alors que (E1)² + (E2)² + ··· +(E8)² est à peu prés égal à 3300.
  5. Quel est le meilleur modèle au sens des "Moindres Carrés" ?