Liste 2 : Exercices simples sur les Suites Géomètriques

Exercice 1: Nouvelle-Calédonie Novembre 2000 Voir la Correction
On prévoit qu’une automobile , achetée neuve, aura subi une décote de 20% la première année d’utilisation , puis une nouvelle décote de 15% la deuxième année, et enfin une décote de 10% chacune des années suivantes.

1. Une automobile est achetée 20 000 euros .
   Déterminer la valeur de cette automobile , à l’euro près , au bout
   a: D’un an
   b: De deux ans
   c: De quatre ans
    
2. Une automobile est achetée neuve au prix Po ( en euros).
   On appelle P_n la valeur de cette automobile, en euros, au bout de n années.
   a: Exprimer P_n en fonction de Po et de n, lorsque n est supérieur ou égale à 3.
   b: Au bout de quatre ans, la valeur d’une automobile est 12 500 euros. Quel était en euros son prix initial ?
   c: A l’aide de la calculatrice déterminer le plus petit entier n tel que : 0,68x(0,9)^n-2 < 0,5
   d: Une voiture a été achetée en l’an 2000.
       Déduire de la question précédente l’année à partir de laquelle sa valeur sera,
       pour la première fois, inférieure ou égale à la moitié du prix du neuf.
       Justifier la réponse.

Exercice 2: Voir la Correction
Une personne loue une maison à partir du 1^er janvier 2001. Elle a le choix entre deux formules de contrat. Dans les deux cas, le loyer annuel initial est de 12 000 euros et le locataire s’engage à occuper la maison pendant neuf années complètes.

1. Contrat n° 1.
   Le locataire accepte une augmentation annuelle de 5% du loyer de l’année précédente.
   Calculer le loyer U₁ payé lors de la deuxième année.
   a: Exprimer U_n (loyer payé lors de la (n + 1)^ème année ) en fonction de n.
   b: Calculer U₈
   
   
2. Contrat n°2.
   Le locataire accepte une augmentation annuelle forfaitaire de 750 euros du loyer de l’année précédente .
   a: Calculer le loyer V₁ payé lors de la deuxième année.
   b: Exprimer V_n (loyer payé lors de la (n + 1)^ème année ) en fonction de n.
   c: Calculer V₈
   
   
3. Calculer la somme payée à l’issue des neuf années de contrat. Quel est le contrat le plus avantageux pour le locataire ?

Exercice 3: Voir la Correction
A , B , C sont 3 nombres distincts non nuls .
On sait que A , B et C sont 3 termes consécutifs d’une suite géométrique de raison q .
On sait que 3A , 2B et C sont 3 termes consécutifs d’une suite arithmétique.
1: Exprimer B et C en fonction de A et q grâce à la 1^ère condition.
2: Ecrire une relation entre 3A , 2B et C à l’aide de la 2^ème condition .
3: Calculer q .

Exercice 4: Voir la Correction
(U_n) est une suite géométrique de raison q et dont tous les termes sont positifs.
        On suppose de plus que U₁xU₃ = 36 et que U₃ + U₄ = 72
1: Calculer U₂.
2: Calculer q .