Exercices Annales 0 2004 Eléments de Correction:
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Exercice 1:

  1. On remarque que le plus grand numéro peut être 3 ou 4 ou 5 ou 6 ou 7.
    Pour k > 3, le nombre de tirages de 3 boules dont le plus grand numéro est k est :
    Effectivement, il s'agit alors de tirer deux boules parmi les (k-1) boules dont le numéro est < k.
    D'où: Nombre de tirages =
  2. D'où tirages de 3 boules distinctes parmi les 7 possède au moins une boule ayant un numéro >3.
     

Exercice 2:

  1. Equation de la tangente en M :  y = et(x-t)-et .
    Coordonnées de N : N( t-1 ; 0)
    Coordonnées de P: P( t ; 0)
    Distance PN = 1.
  2. (a) Même principe:  

    (b) PN = constante = k si et seulement si kf '(t) = f (t)    (Ek)
    (c) Solution de (Ek) : f(t) = Cet/k.

Exercice 3:

  2. y = - x
  3. n = 3k
  6. Cercle de diamètre [AB].  (Ensemble des points tels que l'on ait un angle droit !!!)

Exercice 4:

  1. (a) M(x , y) appartient à G si et seulement si
         ................................. si et seulement si  
         ................................. si et seulement si
         ................................. si et seulement si
     (b) La dernière relation montre que M( x , y) appartient à G si et seulement si N(y , x) appartient aussi à G.
            D'où la conclusion.
  2. (a) Si  G  était un arc de cercle, le centre de ce cercle derait sur la droite d'équation y=x et sur la droite d'équation x = 1.
           Ce serait donc le point A(1 ; 1).  et son rayon serait R = 1.
    (b) Réponse! NON ... car , par exemple, la distance AM avec M sur G  d'abscisse 1/4 n'est pas 1.

Exercice 7:

  1. Vrai, car pour tout n , 1+ un > un > 0
  2. Si un converge alors sa limite L est > 0 car (un) positive.  Donc un -> L et un +L -> L +1 d'où (vn) converge vers L/(L+1)
  3. Vrai!  vn = f(un) avec f(x) = x/(x+1) et f croissante sur [0 ; +oo[  donc les suites ont les mêmes variations.
  4. Faux!! un = g(vn) avec g(x)= x/(1-x). Si (vn) converge vers 1 alors (un) ne converge pas.
    On peut aussi prendre la contraposée:
    "Si (un) diverge alors (vn) diverge". Si un = n alors (un) diverge vers +oo et (vn) converge vers 1.

Exercice 8:

  1. C'est le plan médiateur de [AB].
  2. G(1,5 ; 1 ; -0,5)
  3. d différent de (AB), de (BC) et (CA).
  4. J(2 ; 1 ; 1)
  5. Droites non coplanaires.
  6. Droite et Plan parallèles.
  7. Intersection = Droite

Exercice 10: Spécialité

  1. Faux!!  Exemple, 4 ... divisible par 4 mais non par 8.
  2. Vrai!! car 2 et 3 premiers entre eux et 6 = 2x3.
  3. Faux!! Exemple, 12 ... divisble par 4 et 6 et non par 24.
  4. Faux!! (tellement classique...) Prendre a = 7 et b = 5  , a + b = 12  et a -b = 2 .. Pgcd(a+b ; a-b) = 2
  5. Vrai !! Si d = Pgcd(2a+b ; 3a+2b) alors d divise 2(2a+b) - (3a+2b) = a
    et d divise 3(2a+b)-2(3a+2b) = -b  donc d divise a et b donc d = 1.

Exercice 12:

  1.   
  2. La dérivée de g est : g(x) = ex-1 (1-x/2) d'où g strictement croissante sur [0;1].
  3. (a) g(0)= Aire du triangle (OIA) avec A(0 ; f(0)).
         Ce triangle est la moitié du rectangle (ABIO) avec B( 1 ; f(1)) et ce rectangle est inclus dans D.
    (b) Théorème des Valeurs intermédiaires...
         g continue, strictement croissante sur [0;1] avec
          Donc, il existe a unique compris entre 0 et 1 tel que
  4. a = 0,331  par défaut à 0,001 près.

Exercice 15:

  1.  On calcule la dérivée de f et on obtient que f est strictement croissante sur [0;1].
    De plus, f(0) et f(1) sont dans [0 ; 1] d'où la conclusion.
  2. Faire une récurrence!  u0 est bien dans [0;1].
    Hypothèse de récurrence: un est dans [0;1].
     D'après la quetsion précédente, on en déduit que f( un) est dans dans [0;1].
    Donc que un+1  est dans [0;1].
    D'où la conclusion par récurrence.
  3. (a) et (b) On vous laisse le faire ...
    (c)
         On sait que un  est dans [0;1] donc   un+1 - un  > 0 donc ( un) est croissante.
    (d) Suite croissante et majorée par 1, donc Suite convergente ....
    (e) f est continue et un+1 = f( un) donc la limite l de ( un) vérifie l'équation f(l) = l .
         On pose l'équation et on a : l = 1  car l dans [0;1]
  4. (a)
         D'où la suite (vn) est bien géométrique de raison (2/5).
    (b) v0 = -1/2  donc   vn = -(1/2)(2/5)n .
    (c)  
           On remplace alors vn par son expression de n et on obtient celle de un.
            Comme vn converge vers 0  ( car |-2/5| < 1) , on retrouve que un converge vers 1.

Exercice 16:

  1. Faites-le !
  2. Vous calculez les distances AB , AC et BC et vous trouvez à chaque fois .
    Le triangle ABC est donc bien équilatéral.
    De plus, O est l'isobarycentre des points A? B et C. D'où O = centre de ABC.
  3. (a) C'est le plan médiateur du segment [AB]. C'est le plan (P) passant par le milieu de [AB] et dont est un vecteur normal.
          Equation de ce plan :
    (b) Même principe. C'est le plan (Q) médiateur du segment [BC].
          Equation de ce plan (Q) :  y = 0.
    (c) L'intersection de (P) et (Q) est l'ensemble des points vérifiant {x = 0 ; y = 0}. C'est l'axe (O ; k)
  4. Si ABCD tétraèdre régulier alors D est équidistant des points A, B et C. Donc, d'après la question précédente, D est sur l'axe (O;k).
    De plus, on connait la distance AB (voir quetsion 2).
    D'où ABCD tétraèdre régulier si et seulement si AD = BD = CD = AB avec D(0 ; 0 ; z).
    D'où . D'où l'existence et l'unicité de D .
  5. (a) On peut voir que

          D'où :
    (b) Un simple calcul montre que la dérivée de f est du signe de (4x-2).
          D'où f est décroissante sur ]-oo;1/2 ] et croissante sur [1/2 ; +oo[.
    (c) On sait que cos est décroissante sur [0 ; p]. Donc, l'angle AMB est maximum si et seulement si f(l) est minimun.
          D'après les variations de f , cela correspond à l = 1/2.

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