Exercices Annales 0 2004 Eléments de Correction:

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Exercice 17: Spécialité
 Partie I

  1. A et S sont distincts ainsi que C et G, donc il exsite une unique similitude directe telle que S(A)=C et S(E)=G.
    L'angle de S est .
    Or,  , D'où l'angle de S.
  2. W = centre de S.
    (a) S(W) = W donc (WA ; WC) = -p/2 . Donc, comme ABC est rectangle en B, le point W appartient au cercle G.
          De même, (W S ; WG) = -p / 2 donc ,comme BSG est rectangle en B, le point  appartient aussi au cercle G ' .
          D'où W appartient aux deux cercles.
    (b) Le point E appartient au segment [AB] donc il existe un réel k compris entre 0 et 1 tel que:
            . Si  B = S(B) alors :
           Or, ' appartient au segment [CG], donc cette dernière est impossible ave k compris entre 0 et 1.
           D'où S(B) distinct de B.
           D'où B distinct de W .
    (c) Comme le centre de S appartient aux deux cercles, on en déduit que le centre de S est le point K.

Partie II

  1. Faites-le ! Remarquons que le point W a pour affixe -1 + 2i.
    Pour le vérifier, il suffit d'écrire les équations des deux cercles G et G 'chercher leurs points d'intersection.
    On peut aussi chercher l'écriture complexe de S, et obtenir z' = [(-1-8i)z +(-30+20i)]/13
  2. Ecriture complexe de S' -> Elle est de la forme z' = az + b.
    On sait S'(A) = E et S'(C)=G.  On écrit alors un système d'équation dont les inconnues sont a et b.
    Et ona: a = -2i  et b = -5.  D'où S' : z' = -2iz - 5.
  3. Point fixe de S' : On pose l'équation z = -2iz - 5 .  On a alors z = -1 +2i.
    D'où W = W '.

Exercice 25:
Partie A
 M1 ( 0,1 ; 1,1)  ;   M2 (0,2 ; 1,190)  ;     M3 (0,3 ; 1,2748)  ;  M4 ( 0,4 ; 1,3533)  ;  M5 (0,5 ; 1,4272).
Placez alors les points!

Partie B

  1. Pour tout x > 0 , f '(x)f'x) = 1.  Donc, pour tout x > 0, on a f (x) non nul.
  2. Si il existe a tel que f(a) < 0 , comme f(0) = 1, et comme f est continue sur [0;a], alors d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe xo dans l'intervalle [0;a] tel que f(xo)=0.
  3. Or, f ne s'annule pas sur [0;+oo[, d'où contradiction. Donc, pour tout x > 0, f(x) > 0.

Partie C

  1. On sait que la dérivée de u² est 2u 'u. Donc une primitive de u ' u est U = (1/2)u² .
  2. La relation "Pour tout x > 0, f '(x)f(x) = 1" s'écrit : "Pour tout x > , ( f ²(x))' = 2 .
    Or, Les primitives de la fonction (2) sur l'intervalle [0;+oo[ sont de la forme (2x + C) où C est une constante réelle.
    Donc, il existe bien une constante réelle C telle que pour tout x > 0 , f ²(x) = 2x + C
  3. On sait de plus que f(0) = 1.
    On a donc, : f ²(0) = 1  d'où, d'après la relation obtenue dans la question 2.  , on a C = 1.
    D'où L'expression de f:  
  4. Finissez par les calculs .....