Exercice 1:France-Métropolitaine Juin-1999
Pour tout entier naturel n non nul, on considère les nombres: a _n= 4.10ⁿ-1 , b _n= 2.10ⁿ-1 et c_n = 2.10ⁿ + 1 1:
a) Calculez a_n , b_n et c_n pour n = 1 , 2 et 3.
b) Combien les écritures décimales des nombres a_n et c_n ont-elles de chiffres? Montrez que a_n et c_n sont divisibles par 3.
c) Montrez, en utlisant la liste des nombres premiers inférieurs à 100 que b₃ est premier.
d) Montrez que, pour tout entier naturel n, b_n.c_n = a_2n . Déduisez-en la décomposition en produit de facteurs premiers de a₆.
e) Montrez que PGCD(b_n, c_n ) = PGCD( c_n , 2 ). Déduisez-en que b_n et c_n sont premiers entre eux.

2: On considère l'équation : (1): b₃x + c₃y = 1 d'inconnues les entiers relatifs x et y .
a) Justifiez le fait que (1) possède au moins une solution.
b) Appliquez l'algorithme d'Euclide aux nombres c₃ et b₃. Déduisez-en une solution particulière de (1).
c) Résolvez l'équation (1).

Correction

Exercice 2:Polynésie Juin-1999

1: Démontrez que, pour tout entier naturel n: 2³ⁿ-1 est un multiple de 7.
Déduisez-en que 2³ⁿ⁺¹-2 est un multiple de 7 et que 2³ⁿ⁺²-4 est un multiple de 7.

2: Déterminez les restes de la division par 7 des puissances de 2.

3: Le nombre p étant un entier naturel, on considère le nombre entier: A_p = 2^p + 2^2p + 2^3p. a)
Si p = 3n, quel est le reste de la division de A_p par 7?
b) Démontrez que si p = 3n + 1 , alors A_p est divisible par 7.
c) Etudiez le cas où p = 3n + 2.

4: On considère les nombres a et b écrits dans le système binaire: a = 1001001000 et b = 1000100010000.
Vérifiez que ces deux nombres sont des entiers de la forme A_p.
Sont-ils divisibles par 7?
Correction

Exercice 3:Amérique du Nord Juin-1999
Les trois parties I, II et III peuvent être traitées indépendamment les une des autres.

Partie I
Soit E = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10}.
Déterminez les paires { a ; b } d'entiers distincts de E tels que le reste de la division euclidienne de ab par 11 soit 1.

Partie II
1: Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 3.
a) L'entier ( n - 1 )! + 1 est-il pair?
b) L'entier ( n - 1 )! + 1 est-il divisible par un entier naturel pair?
2: Montrez que l'entier (15 - 1 )! +1 n'est pas divisible par 15.
3: L'entier (11 - 1)! +1 est-il divisible par 11?

Partie III
Soit p un entier naturel non premier ( p > 1).
1: Montrez que p admet un diviseur q (1< q < p)
2: L'entier q divise-t-il l'entier ( p - 1 )! +1 ?
3: L'entier p divise-t-il l'entier ( p - 1 )! +1 ?
Correction

Exercice 4:
Partie A
On admet que 1999 est un nombre premier.
Déterminez l'ensemble des couples ( a ; b ) d'entiers naturels admettant pour somme 11 994 et pour PGCD 1999.

Partie B
On considère l'équation (E) d'inconnue n dans N: (E) : n² - Sn + 11994 = 0 où S est un entier naturel.
On s'intéresse à des valeurs de S telles que (E) admette deux solutions dans IN.
1: Peut-on déterminer un entier S tel que 3 soit solution de (E)?
Si oui, précisez la deuxième solution.
2: Peut-on déterminez un entier S tel que 5 soit solution de (E)?
3: Montrez que tout n solution de (E) est un diviseur de 11 994.
Déduisez-en toutes les valeurs possibles de S telles que (E) admette deux solutions entières.

Partie C
Comment montrerait-on que 1999 est un nombre premier? Précisez le raisonnement employé.
Correction

Exercice 5:
1: Démontrez que si trois entiers relatifs a , b et c sont tels que la somme: a³ + b³ + c³ est divisible par 3
alors le somme ( a + b + c ) est aussi divisible par 3.
2: Démontrez que si ( a³ + b³ + c³ ) est divisible par 9 alors l'un au moins des trois nombres a , b , c est divisible par 3.
3 Déterminez une condition nécessaire et suffisante pour que la somme ( a³ + b³ + c³ ) soit divisible par 9.
Correction

Exercice 6:
1 Déterminez les couples ( x ; y ) d'entiers naturels tels que: x² - y² = 1.
2: p étant un entier naturel premier, déterminez les couples ( x ; y ) d'entiers naturels tels que: x² - y² = p.
Correction

Exercice 7:
Pour n entier naturel non nul, on note f(n) le nombre de diviseurs entiers naturels de n, 1 et n compris.
1: Que peut-on dire de n si f(n)= 2?
2: Déterminez f(6) et f(10).
3: Décomposez 20 en produit de facteurs premiers. Montrez alors que f(20)=9.
4: Montrez que si n et m sont deux entiers naturels premiers entre eux alors f(n.m) = f(n).f(m)
5: Soit n= P₁^a1.P₂^a2....P_k^ak la décomposition de n en produit de facteurs premiers. Montrez que f(n)=(a₁ + 1).(a₂ + 1).....( a_k + 1)
6: Que peut-on dire de n si f(n)=3?
Correction

Exercice 8:
Pour n entier naturel, on pose F(n) le nombre d'entiers naturels inférieurs à n qui sont premiers avec n, 1 compris.
1: Que peut-on dire de n si F(n) = n-1?
2: Déterminez F(n) pour n = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10.
3: Montrez que si p est un entier naturel premier , alors F(p²)= p² - p.
Correction

Exercice 9:
1: Montrez que si a , b , c et d sont réels alors (a² + b²)(c² + d²) = (ac + bd)² + (ad - bc)².
2: On pose S comme étant l'ensemble des entiers naturels non nuls n tels qu'il existe a et b entiers naturels
non nécessairement nuls tels que n=a² + b².
a: Indiquez quels sont les entiers qui apartiennent à S dans la liste suivante:
2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15 ; 17 ; 19 ; 23 ; 37 ; 41 ; 43.
b: Montrez que si n et m appartiennent à S alors n.m appartient aussi à S.
D'une façon générale, montrez que si k entiers appartiennent à S alors leur produit appartient aussi à S.
c: Montrez que 4810 appartient à S.
d: Montrez que si p premier strictement supérieur à 2 appartient à S alors p = 1 modulo 4
(ou encore p=1[4] ou le reste de la division euclidienne de p par 4 est 1)
e: Peut-on écrire 1999 comme somme de deux carrés d'entiers?
Correction

Exercice 10:
p est un entier naturel premier.
1: Montrer que pour tout k entier naturel compris entre 1 et (p-1), on a:  

2: Montrez alors par récurrence que pour tout entier naturel n, (n^p - n) est divisible par p.
Ce résultat est connu sous le nom de PETIT THEOREME DE FERMAT.