Correction Exercice 3
On annonce dans cet exercice que les trois parties peuvent traitées indépendamment les unes des autres. Cela est vrai!
MAIS, cet exercice n'est qu'une petite variante d'un théorème célébre d'Arithmétique connu sous le nom de THEOREME DE WILSON Ce théorème est le suivant :

THEOREME DE WILSON
p étant un entier naturel, on a:
p est premier si et seulement si p divise (p-1)! + 1

Pour la correction de cet exercice, nous allons fournir deux solutions.
Une solution purement calculatoire, en uitlisant la machine et en remerciant le ciel que l'énoncé ne demande pas de vérifier que si (23-1)!+1 est divisible ou non par 23.
Une deuxième solution qui prendra en compte les résultats de la première partie.

Partie I
Pour cette question, histoire de simplifier la recherche des paires {a ; b}, nous allons démontrer un résultat qui, à lui seul, peut être une question de Bac.

Pour p premier entier naturel, pour tout a appartenant à {1 ; 2 ; 3 ; ... ; p-1 } , s' il existe b appartenant à {1 ; 2 ; 3 ; ...; p-1} tel que ab a un reste égal à 1 dans la division euclidienne par p alors b est unique.

Effectivement, supposons qu'il existe b et c distincts dans {1 ; 2 ; 3 ; ... ; p-1} tel que ab et ac ait pour reste 1 dans la division euclidienne par p, alors ab - ac = a( b - c ) est divisible par p. Comme a et (b-c) sont, en valeur absolue, inférieur à p, et que p est premier, ils sont tous les deux premiers avec p, d'où contradiction avec b et c distincts.

On peut démontrer que pour tout a, il existe bien un b appartenant à { 1 ; 2 ; 3 ; ... ; p-1} tel que ab ait pour reste 1 dans la division euclidienne par p, mais nous n'avons pas besoin de ce résultat ici.

A partir de là, comme 11 est premier, une fois une paire {a ; b} trouvée, on peut éliminer a et b de la suite des la recherche

Commençons cette recherche!

1*1 = 1 modulo 11 , donc 1 est à exclure de la recherche
2*6 = 12 = 1 modulo 11 , d'où une première paire {2 ; 6} .
3*4 = 12 = 1 modulo 11 , d'où une autre paire {3 ; 4}.
5*9 = 45 = 1 modulo 11 , d'où une autre paire {5 ; 9}.
7*8 = 56 = 1 modulo 11 , d'où la derniére paire possible {7 ; 8 }.

Remarquons que 10*10 = 100 = 1 modulo 11.

Les paires répondant à la question sont donc {2 ; 6} , {3 ; 4} , {5 ; 9} et {7 ; 8}

Partie II
1: n entier supérieur ou égal à 3
a: si n est > 2, alors (n-1)! est pair car c'est le produit 2*3*...*(n-1). Donc (n-1)!+1 n'est pas pair
b: N'étant pas pair, il ne risque pas d'être diviible par un entier pair, car sinon il serait divisible par 2.

2: a: Remarquons que 15 = 3*5 et que c'est sa décomposition en facteurs premiers. De plus,

(15-1)! = 14! = 1*2*3*4*....*10*11*12*13*14 = 10*N où N est un entier naturel
Donc ( 15-1)! est un entier qui fini par un "0" en écriture en base 10 , donc (15-1)!+1 fini par un "1" en écriture en base 10. Donc il n'est pas divisible par 5 et donc pas par 15.
On peut aussi remarquer que (15-1)! = 1*2*3*4*5*...*14 = 15*(1*2*4*6*7*...*13*14) = 15*N, donc que (15-1)! est divisible par 15 donc certainement pas (15-1)! + 1.

3:
Première réponse possible, on calcule (11-1)! + 1 = 10! + 1 = 3628801 et on remarque que 3628801 = 11*329891. D'où (11-1)!+1 est bien divisible 11

Deuxième réponse. On remarque que (11-1)! peut s'écrire:

(11-1)! = 10! = 1*2*3*4*5*6*7*8*9*10 = 1 * (2*6) * (3*4) * (5*9) * (7*8) * 10

Comme 2*6 = 3*4 = 5*9 = 7*8 = 1 modulo 11, on en déduit que (11-1)! = 10 modulo 11
donc que (11-1)! + 1 = 11 = 0 modulo 11 et donc que (11-1)! + 1 est bien divisible par 11.

Partie III
p est un entier naturel non premier (p>1).
1:
p étant non premier, il admet un diviseur premier q inférieur à (p-1). Donc, dans (p-1)! , apparaît le facteur q et
donc (p-1)! est bien divisible par q.

2:
Réponse NON, car comme (p-1)! = q*N où N est un entier naturel, le reste de la division euclidienne de (p-1)!+1
par q est 1 et donc (p-1)!+1 n'est pas divisible par q

3:
Comme q divise p, et que q ne divise pas (p-1)!+1 , p ne risque pas de diviser (p-1)!+1.

Remarquez que l'on vient de démontrer une partie du THEROME DE WILSON: à savoir:

Si p n'est pas premier alors (p-1)!+1 n'est pas divisible par p

ou encore

Si p divise (p-1)!+1 alors p est premier