Correction Exercice 4
On admet que 1999 est un nombre premier

Partie A
Première remarque: Comme PGCD( a ; b ) = 1999, et que (a+b) = 11 994, il faut commencer par rechercher le quotient de
11 994 par 1999, 11 994 doit être lui aussi divisible par 1999.
Or, 11 994 = 1999*6.

De plus, dire que PGCD(a;b) = 1999 revient à dire qu'il existe k et h entiers naturels premiers entre eux tels que:

a = k*1999
et
b = h*1999

Le problème revient à chercher les entiers naturels k et h premiers entre eux tels que:
(k+h)*1999 = 11 994
Donc, tels que (k+h = 6). Les seules solutions possibles sont: (1 ; 5) et (5 ; 1 ) car (2;4) et (3 ; 3) ne donne pas des entiers premiers entre eux.

D'où, l'ensemble des couples (a ; b ) solutions:

{ ( 1999 ; 9995 ) ; (9995 ; 1999) }

Partie B
(E) : n2 - Sn + 11994 = 0

1: On peut simplement remplacer n par 3 dans l'équation et remarquer alors que la seule valeur S possible est:

S = 4001

Comme (E) est une équation du second degré, la somme de ses racines est justement S, d'où l'autre racine:

X2 = (S - 3) = 3998
.

2: S'il existe S tel que 5 soit solution de (E), alors on a:

52 - 5S + 11994 = 0

d'où

5(S-5) = 11994

Or, 11994 = 6*1999 et 1999 est premier, 11994 est non-divisible par 5.
Donc il n'existe pas S tel que 5 soit solution de (E).

3: Cela reprend le même principe que la question précédente:

Si n est solution de (E), alors on a : n(S-n) = 11994 donc n doit être un diviseur de 11994.

Comme la décomposition de 11994 en facteurs premiers est:

11 994 = 2*3*1999
on en déduit que les diviseurs de 11994 sont:

1 ; 2 ; 3 ; 1999 ; 6 ; 3998 ; 5997 ; 11994 .

De plus, comme le produit des racines de l'équation (E) doit être 11994, on en déduit que l'ensembles des solutions possibles de (E) sont:

{ 1 ; 11994 } ou { 2 ; 5997 } ou { 3 ; 3998 } ou { 6 ; 1999}

D'où les valeurs S telles que (E) admette des solutions entiéres:

- S = 11995 , avec comme solution { 1 ; 11994}

- S = 5999 , avec comme solution { 2 ; 5997}

- S = 4001 , avec comme solution { 3 ; 3998}

- S = 2005 , avec comme solution { 6 ; 1999}

Partie C
Pour vérifier que 1999 est premier, il suffit de vérifier que 1999 n'est divisible par les nombres naturels premiers < 44.