CORRECION EXERCICE 5 ARITHMETIQUE

Correction Exercice 5:
1: a, b et c sont trois entiers relatifs tels que (a³ + b³ + c³) soit divisible par 3.
Or, si pour un entier relatif quelconque x de reste r dans le division euclidienne par 3, ( x = 3N + r avec r=0 ou 1 ou 2) alors le reste de la division euclidienne de x³ par 3 est aussi r.
Pour le constater, on peut simplement remarquer que : x³ = (3N + r)³ = 27N³ + 27N²r + 3Nr² + r³ Donc le reste de x³ est le même que r³.
Pour r=0 , le reste est bien 0.
Pour r=1, le reste est bien 1.
Pour r=2, on a r³ = 8 et le reste est bien 2.

Donc, en particulier (a³) a le même reste que a dans la division euclidienne par 3, de même b³ et b , et c³ et c.
Donc (a³ + b³ + c³) a le même reste que (a +b +c). Ils sont donc simultanement, divisible ou non par 3.

On peut arriver au même résultat en passant par les congruences. C'est plus rapide mais demande un peu plus d'habitude.

Il y a trois congruences possibles modulo 3: 0 , 1 ou 2.
Comme 0³ = 0 modulo 3 , 1³ = 1 modulo 3 , 2³ = 2 modulo 3 , on obtient le résultat.

Ce résultat peut se généraliser pour p premier quelconque:
Si p est premier alors (n^p = n modulo p) pour tout entier n.
Voir Exercice 10

2: Ecrivons le division euclidienne de a, b et c par 9:

a = 9A + U
b = 9B + V
c = 9C + W
avec U, V et W dans {0 ; 1 ; 2 ; .....; 8} On remarque alors que (a³ + b³ + c³) = (U³ + V³ + W³) modulo 9.
Or , toujours en raisonnant modulo 9, on remarque que les cubes modulo 9 sont:

0 = 0³ = 3³ = 6³ modulo 9
1 = 1³ = 4³ = 7³ modulo 9
8 = 2³ = 5³ = 8³ modulo 9
On ne peut donc avoir la somme des trois cubes divisibles par 9 que si ces cubes sont égaux respectivement à 0 , 1 et 8 modulo 9.
Donc que si un des entiers a, b ou c est le forme (9N) ou (9N+3) ou (9N+6). est donc bien divisible par 3.

3: D'après ce vient d'être dit, une condition nécessaire et suffisante pour que (a³ + b³ + c³) soit divisible par 9 est est que l'un de ces entiers soit divisible par 3, un autre est une reste égal à 1 dans la division euclidienne par 3 et que le troisième est un reste égal à 2 par la division euclidienne par 3.

Ce sont donc les nombres de la forme (3A, 3B+1 , 3C+2) à une permutation près.