CORRECTION EXERCICE 6 ARITHMETIQUE

Correction Exercice 6
1: Comme x²-y² = (x-y)(x+y), on ne peut avoir l'égalité: x²-y² = 1 que si et seulement si x=1 et y=0

2:
Commençons par le cas p premier différent de 2.
On doit avoir (x - y)(x + y)= p , mais p étant premier, un des deux facteurs est 1 et l'autre p. Comme x et y sont des entiers naturels, on doit donc avoir:

x + y = p
x - y = 1
D'où x = (p+1)/2 et y = (p-1)/2. Ce sont bien deux entiers naturels car p est premier impair.

Si p=2, il n'existe pas d'entiers naturels x et y tels que x²-y² = 2.