1: Par définition, un nombre n'admettant que 1 et lui-même comme diviseur est un nombre premier. De plus, comme pour tout n entier naturel, 1 et n sont des diviseurs de n, on peut dire que f(n) est supérieur ou égal à 2 (si n>1) et que f(n) = 2 si et seulement si n est premier.

2:
Les diviseurs de 6 sont: 1 ; 2 ; 3 ; 6
Donc f(6) = 4.
De même, les diviseurs de 10 sont: 1 ; 2 ; 5 ; 10
Donc f(10)=6.

3:
La décomposition de 100 en facteurs premiers est: 100 = 2².5².
Les diviseurs de 100 sont les nombres admettant un décomposition en facteurs premiers de la forme:

• 2^a.5^b avec a dans {0 ; 1 ; 2} et b dans {0 ; 1 ; 2}.
  En voici la liste:
• 1
• 2
• 4
• 5
• 25
• 10
• 50
• 100
  Ils sont bien au nombre de 9: on a bien f(100) = 9.

4
Dire que n et m sont premiers entre revient à dire que dans leurs décomposition en facteurs premiers, il n' y a par de nombre premier en commun. Ou autrement dit, si p premier divise l'un deux alors il ne divise pas l'autre.
Donc tout diviseur de (n.m) est le produit d'un diviseur de n et d'un diviseur de m, ces deux diviseurs étant premiers entre eux. Réciproquement, si k divise (n.m) alors la décomposition de k en facteur premier contient des nombres premiers diviseurs de n , et d'autres premiers diviseurs de m: On peut donc écrire k comme produit d'un divisur de n et d'un diviseur de m.
D'où, on a bien f(n.m) = f(n).f(m) si n et m sont premiers entre eux.

5: Simple question de dénombrement!

6: Si f(n) = 3 , en utilisant la relation précédente, on a: f(n) = (a₁+1)(a₂+1)...(a_k + 1) = 3.
D'où un des a_k = 2 et tous les autres sont égaux à 1.

Ceci signifie que n est le carré d'un nombre premier.