Correction Exercice 10:
1:
(a² + b²)(c² + d²) = (a²c² + b²d²) + (a²d² + b²c²)
.......................... = [(ac+bd)² - 2acbd] + [(ad-bc)² + 2acbd]
.......................... = (ac + bd) ² + (ad - bc)²
2: S = { n entier naturel / il existe a et b dans IN tel que n = a² + b² }
a:
- 2 = 1² +1²
- 4 = 0² + 2²
- 5 = 1² + 2²
- 9 = 0² + 3²
- 13 = 2² + 3²
- 17 = 1² + 4²
- 37 = 1² + 6²
- 41 = 4² + 5²
Donc 2 , 4 , 5 , 9 , 13 , 17 , 37 , 41 sont dans S.
b: m et n appartiennent à S s'il existe a, b , c et d entiers naturels tels que :
D'après la question 1: , on a alors:
n.m = (a² + b²)(c² + d²) = (ac + bd) ² + (ad - bc)²
donc n.m = A² + B² avec A = (ac + bd) et B = | ad - bc |, qui sont bien tous deux des entiers naturels, donc n.m appartient bien à S.
c:
Supposons que p soit dans S. Il existe donc a et b tel que p = a² + b².
Les carrés modulo 4 sont:
- 0 = 0² = 2² modulo 4
- 1 = 1² = 3² modulo 4.
Donc si un nombre naturel n est somme de deux carrés, on doit avoir:
- n = 0 modulo 4 ou
- n = 1 modulo 4 ou
- n = 2 modulo 4.
Comme p est un nombre premier impair, on ne peut avoir que ( p = 1 modulo 4 ).
Remarquez que ce résultat est encore valable si on suppose seulement p entier impair.
d: On remarque que 1999 = 4*499 + 3 = 3 modulo 4. Donc 1999 ne peut pas s'écrire comme somme de deux carrés
REMARQUE:
On peut démontrer la réciproque du résultat de la question 2:c: à savoir:
p étant un entier naturel premier, p est somme de deux carrés dans IN
si et seulement si
p = 2 ou p = 1 modulo 4
On obtient alors le résultat suivant:
n entier naturel est somme de deux carrés dans IN
si et seulement si
dans la décomposition de n en facteurs premiers, tous les nombres premiers égaux à 3 modulo 4 ont un exposant pair
Par exemple:
- 1445 = 17² . 5 = 17².(1² + 2² ) = 17² + 34²
- 223975 = 17².5².31 mais 31 = 3 modulo 4et son exposant est 1, donc 223975 n'est pas somme de deux carrés