Exercice 1 Asie Juin-99

1: Pour tout nombre complexe Z, on pose P(Z) = Z⁴ - 1 .

a: Factoriser P(Z).
b: En déduire les solutions dans l'ensemble C des complexes de l'équation P(Z) = 0.
c: Déduire de la question précédente les solutions dans C de l'équation d'inconnue z :

2:
a: Le plan complexe (P) est rapporté à un repère orthonormal direct (O; u , v ). Unité graphique 5m.

     Placer les points A, B et C d'affixes respectives:  a = -2 , b = et c = .
b: Démontrer que les points O , A , B et C sont situés sur un cercle , que l'on déterminera.

3: Placer le point D d'affixe d = -0,5.

   Exprimer sous forme trigonométrique le nombre complexe z' défini par:  z' =

   En déduire le rapport .  Quelle autre conséquence géométrique peut-on tirer de l'expression de z'?

Correction

Exercice 2 Polynésie Juin-99

Le plan complexe (P) est rapporté à un répère orthonormal direct (O; u , v). Unité grahique = 2cm.

C désigne l'ensemble des nombres complexes.

1: Résoudre, dans C, l'équation (E): . z³ - 8 = 0

2: On considère dans le plan (P) les points A, B et C d'affixes respectives: , ,

a: Ecrire z_A et z_C sous forme trigométrique.

b: Placer les points A , B et C.

c: Déterminer la nature du triangle ABC.

3: On considère l'application f du plan dans lui même qui à tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' telle que:
                                                         z' =

a: Caractériser géométriquement l'application f

b: Déterminer les images des points A et C par f. En déduire l'image de la droite (AC) par f.

Correction

Exercice 3 Guadeloupe-Guyane-Martinique Juin-99

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; u , v ).

On considère le point A d'affixe 1 et, pour appartenant à I = [0 ;2p [, le point M d'affixe z = . e^(ia)

On désigne par P le point d'affixe 1 +z et par Q le point d'affixe z².

1: A partir du point M, donner une construction géométrique du point P et une construction géométrique du point Q.
    Les point , A, M, P et Q seont placés sur une même figure.

2: Déterminer l'ensemble des point P, pour appartenant à I. Tracer cet ensemble sur la figure précédente.
3: Soit S le point d'affixe 1 + z + z², où z désigne toujours l'affixe du point M. Construire S, en justifiant la construction.
4: Dans le ces où S est différent de 0, tracer la droite (OS). Quelle conjecture apparait, relativement au point M?

   Démontrer que le nombre est réel, quel que soit appartenant à I..  Conclure sur la conjecture précédente.

Correction