Correction

On appelle S1 le cercle de centre O et de rayon 1. Par définition , le point M est un point quelconque de S1.

1: Le point P s'obtient, à partir du point, par la translation de vecteur u.

Le point Q s'obtient par la rotation de centre O et d'angle car l'affixe de Q est z² = .

On obtient simplement Q à l'aide d'un compas en suivant les étapes suivantes:

- On place M sur le cercle S1.

- On trace le cercle de centre M et de rayon AM.

- On obtient deux points d'intersection, en général! , entre ce cercle et S1. Le premier point est A, pour cause!. Le second point est le point Q.

Remarquez que, par construction, on ne peut avoir A = Q que si A = M ou A et M diamétralement opposés sur le cercle S1.

2: On sait que par une translation T de vecteur k, l'image d'un cercle de centre X et de rayon r est le cercle de centre T(X) et de rayon r.

Par la translation de vecteur u, l'image de O est A. Donc l'image du cercle de centre O et de rayon r = 1 est le cercle de centre A et de rayon 1.

Comme M parcourt le cercle de centre O et de rayon, on en déduit que l'ensemble des points P est le cercle de centre A et de rayon 1.

3: Pour construire le point S, on suit les étapes suivantes:

- On place M sur le cercle S1.

- On place le point Q obtenue par la rotation de centre O et d'angle .(voir la construction précédente)

- On place le point K tel que OMKQ soit un parallèlogramme.

- On applique à K la translation de vecteur u.

Et là, on obtient S.

4: On remarque que le point M est sur la droite (OS). Pour le vérifier, il suffit de montrer que est réel.

Or, , et comme z = cos( ) + i.sin( ) , l'inverse de z est son conjugué. D'où .

Cette expression est bien réelle, les trois points O, S et M sont bien alignés.

Sur l'animation ci-dessous, on voit le déplacement du point M sur le cercle S1 et la courbe décrite alors par le point S.