Complexes

Exercice 4: Pondichéry Mai 1999

1: Résoudre dans C l'équation . On désignera par la solution dont la partie imaginaire est positive et par l'autre solution.

2:

a: Déterminer le module et un argument de chacune de ces solutions.

b: Déterminer le module et une argument du nombre complexe .

3: Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct (O ; u , v) (unité : 1cm),

on considère le point M 1 d'affixe , le point M 2 d'affixe et le point A d'affixe .

a: Déterminer l'affixe du point M 3 , image de M 2 par l'homothétie h de centre A et de rapport -3.

b: Déterminer l'affixe du point M 4 , image de M 2 par la rotation r de centre O et d'angle .

c: Placer dans le même repère les points A, M 1 , M 2 , M 3 et M 4 .

d: Calculer .

e: Soit I le milieu du segment [M 3 M 4 ] et M 5 le symétrique de M 1 par rapport à I. Montrer que les points M 1 , M 2 , M 5 et M 4 forment un carré.

Correction

Le plan complexe est rapporté à un répère orthonormal direct (O; u , v).

1: Résoudre dans C l'équation (1): .

On donnera le module et un argument de chaque solution.

2: Résoudre dans C l'équation (2) : .

On donnera la solution sous forme algébrique.

3: Soit M, A et B les points d'affixes respectives: z , 1 et 2. On suppose que M est distinct des points A et B.

a: Interpréter géométriquement le module et un argument de .

b: Retrouver géométriquement la solution de (2).

4:

a: Montrer, à l'aide d'une interprétation géométrique, que toute solution de l'équation dans C:

où n désigne un entier naturel non nul donné, a pour partie réelle .

b: Résoudre dans C l'équation (3): . On cherchera les solutions sous forme algébrique.

Correction