Complexes

Exercice 6: Amérique du Nord Juin-99
Le plan orienté est rapporté à un repère orthonormal direct (O; u , v) , l'unité graphique étant 4 cm.
On considère les points A et B d'affixes respectives: a = 1 et b = [Maple Math] . Le point C est l'image du point B par la rotation de centre O et d'angle [Maple Math] .
1:
a: Calculer l'affixe c du point C sous forme exponentielle puis sous forme trigonométrique.
b: Soit I le milieu du segment [AC]. Calculer l'affixe du point I.
c: Faire une figure.

2:

a: Prouver que les droites (OI) et (OB) sont confondues.
b: Ecrire sous forme trigonométrique l'affixe du point I.
c: Déterminer [Maple Math] et [Maple Math] . Les valeurs exactes sont exigées.
On indique que [Maple Math] .

Correction

Exercice 7:D'après France Métropolitaine Septembre-98
1: On considère le polynôme P défini par: P(z)= z3 - 6z2 +12z -16.
a: Montrer que l'équation (E): "P(z) = 0 " admet une solution dans IN, ensemble des entiers naturels.
b: Donner alors une factorisation de P(z) puis résoudre l'équation (E) dans C, ensemble des nombres complexes.

On appelle a la solution entière de (E), b la solution de (E) dont la partie imaginaire est positive et c la solution de (E) dont la partie imaginaire est négative.
c: Que peut-on dire de b et c?

Dans le plan muni d'un repère orthonormal direct (O; u , v), un point M est défini par son affixe z. On note alors M(z).

2:Soient les trois points A(a) , B(b) et C(c).
a: Calculer les distance AB , AC et BC. Que peut-on en déduire concernant le triangle ABC?
b: Montrer qu'il existe une rotation r1 de centre A telle que r1(B) = C. Donner l'angle a de cette rotation.
c: Soit I le milieu di segment [AB]. Quelle est l'image J de I par r1? Que peut-on dire des droites (BC) et (I J)?

3: On définit les deux rotations r2 et r3 de centre repectifs B et C et d'angle a.
a: Déterminer l'image de B par (r3or2or1), composée des trois rotations.
b: Que peut-on dire dire de (r3or2or1) ?

Exercice 8:D'après Asie Juin-97
On considère le plan complexe (P) muni d'un repère orthonormal direct (O; u , v).
K est le point de coordonnées (1 ; 0) et L celui de coordonnées (0 ; 1)

1: Soit le polynôme P tel que, our tout z de C, ensemble des nombres complexes,

P(z) = z3 4z2 + 6z - 4
Calculer P(2). Donner alors une factorisation de P(z) puis résoudre l'équation P(z)= 0 dans C.

2: On note a la solution de l'équation ci-dessus dont la partie imaginaire est strictement positive et b le conjugué de a.
Soient A, B et C les points d'affixes respectives a , b et 2. Soit I le mileiu de [AB].

a: Montrer qu'il existe une rotation r de centre O telle que R(K) = L. Quel est son angle?
b: Déterminer l'affixe du point r(B). En déduire la nature du quadrilatère OACB.

3: Soit f l'application de (P), privé du point C, dans (P) qui, au point M d'affixe z (z # 2), associe le point M' d'affixe z' définie par:

z - (1 + i)
z' =
z - 2
a: Déterminer f(A) et f(B). Déterminer le point E tel que f(E) = C.
b: Quelles distances représentent les réels | z -(1 + i )| et |z - 2|?
En déduire que, si M appartient à la médiatrice de [AC] alors M' appartient à un cercle dont on donnera le centre et le rayon.