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Pour des raisons de commodités, on identifie M et son affixe z.
Ainsi, on notera indifférement T(z) ou T(M) l'image de M par T.

1: De la défintion même de T, on voit que la seule valeur pour laquelle z' n'est pas défini est z = -i

2: Sans difficultés:

3: On remarque que T se décompose en trois transformations simples:
f : z--> (z + i)        ,       g: z --> -2iz , h: z --> 1/z      et   t: z --> z + 1.
On a : T = tohogof .

4: Le seul point d'ayant pas d"antécédent est le seul point M' d'affixe z' n'admettant aucune solution
    à l'équation : T(M)=M'.
    On voit alors que c'est le point d'affixe 1.

5: L'axe des ordonnées est l'ensemble des poinrs M d'affixe z telle que z soit imaginaire pur.
    z = iy , avec y réel. On a donc:
    ce qui donne :
   On voit alors que lorsque M parcourt l'axe de ordonnées (sauf le point d'affixe i),
   T(M) parcourt la droite des abscisses (sauf le point d'affixe 1).

   L'axe des abscisses est l'ensemble des points M d'affixe z telle que z soit réel
   z = x , avec x réel. On a donc:
   . On cherche donc les complexes z= a+ib, (a et b réels) tels qu'il x réel tel que:
    . On obtient alors la relation (passer par ) :
   x² - x + y² =0    ou encore : (x-1/2)² + y² = 1/4.
   C'est le cercle de centre A(0,5 ; 0) et de rayon R = 0,5

6:
a: C₁ est l'ensemble des points M(x ; y) tels que (x-1)² + y² = 1 , ou encore: x² + y² = 2x.
    Or, , donc:
    On en déduit que l'image de C₁ par T₁ est la droite d'équation "x = 0,5"
    Attention, T₁ n'est pas définie en 0.

b: On cherche l'ensemble des z = a + ib de la forme: , on encore
    , ce qui donne les relations:
    et . Ceci donne alors:
   ou encore : a² + b² + a + b = 0, Soit:
   .
 On obtient alors le cercle de centre B(-0,5 ; -0,5) et de rayon excépté le point O!

c: Miracle de cette question, on retrouve le même cercle!!!
   L'application T₂ n'est rien d'autre que la composée de l'homothétie de centre O et de rapport -2 ,
    et de la rotation de centre O et de mesure .
    L'image de C₂ est donc le cercle de centre E(-1 ; 1) et de rayon .

d: Même primcipe. L'image de D₂ est la droite D' d'équation "y = 1"

7: Pour obtenir l'image de C par T, on applique d'abord:

i: la translation de vecteur v, qui correpond à l'appliaction f: Or, f(C) = C₁.
ii: Puis l'application T₁ . Or T₁(C₁) est la droite D₂ : "x=0,5 "
iii: Puis l'application T₂. Or T₂(D₂) est la droite D d'équation "y = 1"
iv: Puis l'application t(z)=z+1, Or, (c'est la tanslation de vecteur u), on a t(D) = D.
Donc, l'image de C par T est la droite D' d'équation "y = 1"

8: Pour l'image de D (y = x) par T d'obtient de la même façon:
i: On applique f: Or f(D) = droite D₁ d'équation "y = x+1"
ii: Puis on applique T₁. Or T₁(D₁) = C₂
iii: Puis applique T₂: Or T(C₂) = cercle de C' centre E(-1 ; 1) et de rayon .
iv: Puis on applique t(z)=z+1. Or, t(C') = cercle C" de centre F(0 ; 1) et de rayon .

Donc, l'image de D par T est le cercle C". (centre F(0 ; 1) et rayon = ).

9:
a: T(z)=z' est défini si et seulement si on a: 1 - i + e^iq  -i , ou encore : e^iq -1.
Comme q est dans [0 ; 2p[, ceci conduit à q p.

b: |z -(1-i)| = |1-i + e^iq - 1 + i| = |e^iq| = 1.
On en déduit que M décrit le cercle de centre U(1 ; -1) et de rayon 1.

c: C'est la même question que la question 7: