Liste 5: Complexes et Transformations du Plan: Pour révision rapide  
Dans tous les exercices, le plan complexe (P) est muni d'un repère orthonormé direct (O;u,v). Un point M d'affixe z a donc pour coordonnées (x ; y) avec z = x + iy , x et y réel.  On utilise alors la notation M(z) pour indiquer que z est l'affixe de M.. Si f est une fonction de (P) dans (P), on identifiera f(M) et f(z) pour simplifier la rédaction.

Exerice 1: Asie (juin 2001)  Voir la Correction
Le plan est rapporté a un repere orthonormal direct (O,u,v)
On appelle f  l'application qui a tt poit M d'affixe z (z different de -1) du plan associe le point M'
d'affixe z' telle que :
Soient A, B et C les points d'affixe respectives a = -1 , b = 2i, c = -i

Soit C' l'image du point C par f.
Donner l'affixe c' du point C' sous forme algébrique puis sous forme trigonométrique.
Calculer l'affixe d du point D ayant pour image le point D' d'affixe d'= ½
Pour tout nombre complexe z différent de -1 on note p le module de (z + 1),
(c'est à dire |z + 1| = p)  et p' le module de z' + i (c'est à dire |z' + i| = p')
a)Démontrer que, pour tout nombre complexe z different de -1, on a :
b)Si le point M appartient au cercle (C) de centre A de rayon 2 montrer alors que
    M' = f(M)appartient au cercle (C') dont on précisera le centre et le rayon.
Pour tout nombre complexe z different de -1 , on considére le nombre complexe µ tel que :
                                            
a)Interpréter géométriquement l'argument du nombre complexe µ.
b)Montrer que z'= -iµ.
c)Déterminer l'ensemble (F)   des points M d'affixe z telle que z' soit un réel non nul.
d)Verifier que le point D appartient aux ensembles (F) et (C)
Représenter les ensembles  (F) , (C) et (C') en prenant 4 cm pour unité graphique

Exercice 2:    Voir la Correction
1a)On pose . Démontrer que 1+j+j²=0
   b)Soit un triangle MNP du plan complexe.On note m, n, p les affixes des points M,N,P
      Démontrer l'equivalence des propositions suivantes:
         
2)Soit un triangle direct ABC.
   On construit à l'extérieur de celui-ci ,les triangles directs BDC , CEA , AFB.
   On note d , e  , et f  les affixes des points D, E , et F.
   Démontrer que le triangle DEF a même centre de gravité que le triangle ABC

3)Soient G, H, K les centres de gravité respectifs des triangles BDC , CEA , AFB .
    On note g , h  et k les affixes des points G  , H  et K.
   a)Démontrer que le triangle GHK est équilatéral direct.
   b)Démontrer que le triangle GHK a même centre de gravité que le triangle ABC.

Exercice 3:
On définit l'application f de (P) dans (P) qui à M(z) associe M'(z') tel que: z' = iz + 2.
a: Montrer que f possède un point fixe A. On note z_a l'affixe de A.
b: Vérifiez que z_a = 1 + i.
c: Montrez alors que : z' - z_a = i(z - z_a)
d: Quelle est la nature de l'application f?

Exercice 4:
On définit f de (P) vers (P) par: "f(M) = M' si et seulement si  , où M(z) et M'(z')  "
a: Quel est le seul point A de (P) à ne pas avoir d'image par f ?
b: Quel est le seul point B de (P) à ne pas avoir d'antécédent par f ?
c: Quelle est l'image de l'axe (O;v) par f ?
d: Quelle est l'image du cercle de centre O et de rayon R = 1 par f ?
e: Quel est l'ensemble des points M(z) tels que z', affixe de f(M) , soit réel ?

Exercice 5:
On définit f de (P) vers (P) par "f(M) = M' si et seulement si z' = z² , où M(z) et M'(z')".
a: Déterminer f(A) , f(B) et f(C) avec A(1+i) , B(1-i) et C(3 + 4i).
b: Déterminer les antécédents de E(-5) par f .
c: Déterminer l'ensemble des points M tels que f(M) soit sur l'axe (O;u).
d: Déterminer l'ensemble des points M tels que f(M) soit sur l'axe (O;v).
e: Déterminer l'ensemble des points M tels que f(M) soit sur le cercle de centre O et de rayon R = 4.
f: Déterminer l'ensemble des points M tels que f(M) soit sur le cercle de centre E(1) et de rayon R' = 4.

Exercice 6:
f est la similitude directe de centre A(1;2) , d'angle et de rapport k = -2.
a: Pour M point du plan d'affixe z, déterminer l'affixe z' de f(M).
b: Déterminer l'ensemble des points M tels que l'affixe de f(M) soit imaginaire pur.
c: Déterminer l'ensemble des points M tels que f(M) ait pour affixe un complexe de module 1.