L'écriture d'un nombre entier en utlisant les chiffres 0 , 1 , 2 , ... 8 ,  9 , n'a pas été de temps ni en tout lieu un usage commun.
Un des tous premiers systèmes d'écriture est né en Mésopotamie vers 2000 avant J-C et utilisait la base 60.
Il nous en est resté le système horaire (1 heure = 60 minutes , 1 minute = 60 secondes).
On verra par la suite en quoi ce système en base 60 est loin d'être ignorant des règles d'arithmétique.
Notre système est en base 10, c'est à dire que si on écrit un nombre comme 256, on exprime que 256 se compose de 2 centaines, 5 dizaines et 6 unités, ou encore que 256 = 2*100 + 5*10 + 6

Un système de numération repose sur le principe de la division Euclidienne:
     "Pour tout A et tout B entiers > 0 , il existe R et Q entiers uniques tels que
       B = Q.A + R avec 0 < R < A.  Q est le quotient et R le reste "
Prenons un exemple: B = 115 et  A = 7, ces nombres étant pris dans leur écriture "classique" de numération en base 10.
On a alors 115 = 16*7 + 3.   Le quotient est Q=16 et le reste est R = 3.
Effectuons alors la division euclidienne du quotient 16 par 7.
16 = 2*7 +2 .  Le reste est R = 2 et le quotient est Q = 2.
On peut alors écrire que 115 = 16*7 + 3 = (2*7 + 2)*7 + 2 = 2*7² + 2*7 + 2.

D'une façon plus générale:
Si b et a  sont des entiers tels que b soit > 1 et a > 0, la division euclidienne de a par b s'écrit:
a = Q₀b + R₀  où 0 < R₀ < b.
Effectuons alors la division euclidienne de Q₀  par b.
Q₀  = Q₁b + R₁.   avec 0 < R₁ < b.
On peut alors continuer ce principe de division tant que le reste obtenu n'est pas nul.
On construit ainsi deux suites (Qn) et (Rn) où (Qn) décroit . Comme c'est une suite d'entiers, il y a un terme Q_n  qui est inférieur à b en valeur absolue, donc égal à son reste R_n dans la division euclidienne par b
En reportant les calculs effectués, on constate alors que :
 

Ceci conduit alors à:

Faisons alors une petite remarque!
On peut aussi écrire un entier négatif en base b. Mais il faut poser une condition! On arrête le principe de la division euclidienne dès qu'un quotient Q_n est égal à -1.
Par exemple: pour a = -115 , on écriture en base 10 n'est pas "-115". Faisons les calculs!
-115 = -12*10 + 5     ,    puis   -12 = -2*10 + 8    et enfin   -2 = -1*10 + 8.
On obtient alors:
-115 = -12*10 + 5
        = (-2*10 +8)*10 + 5 = -2*10² + 8*10 + 5
        = (-1*10 + 8)*10² + 8*10 + 5 = -1*10³ + 8*10² + 8*10 + 5
 
On a simplement écrit que -115 = -10³ + 885

Deuxième remarque:
Comme le premier chiffre a₀ obtenu dans l'écriture de a dans la base b est le reste de la division euclidienne de a par b, on peut dire que a est divisible par b si et seulement si a₀ = 0. 
D'une façon plus générale, a est divisible par b^k si et seulement si a₀ = _a1 = ... = a_{k - 1}.

Exemples d'écriture en base b:
Les nombres seront donnés en base 10

Exemples simple d'utilisation:

 Nombre de chiffres de a en base b:
 Dire que a₀ , a₁ , a₂, ... a_n sont les chiffres de a en base b, revient à dire que
- a_n est non nul
- que pour tout k appartenant à {0 ; 1 ; ... ; n} , 0 < a_k < b
- et a = a₀ + a₁b + a₂b² + .... + a_nbⁿ.
a s'écrit donc avec n+1 chiffres en base b.
Ceci conduit alors à l'encadrement de a :      bⁿ < a < bⁿ⁺¹ .
En utilisant une fonction logarithme, par exemple le logarithme népérien, on obtient alors:
                                    nln(b) < ln(a) < (n+1)ln(b).

Si on choisit le logarithme de base b, Log_b,  alors le nombre de chiffres de a en base b est donnée directement par :      ent(Log_b(a)) + 1.

Prenons deux exemples:

Une application simple de ce principe est de déterminer le nombre de chiffres en base 10 de n!,
où n! = 1*2*3*...*(n-1)*n.
On remarque que ln(n!) = ln(1) + ln(2) + ln(3) + ... +ln(n).
Le calcul "machine" de ln(n!) se fait en programmant le calcul de la suite: (S_k ) définie par:
                                S₀ = 0       et  pour k > 0 ,  S_k+1 = S_k + ln(k+1).

Pour 100!, on obtient alors: ln(100!)=363,7393..,
et le nombre de chifrres de 100! en base 10 est alors 158.