PENSEZ à fermer cette fenêtre    Correction Exercice 10 Liste 2  Bac 2001 Spécialité

1.
Il est immédiat (cf. cours) que f est la rotation de centre O et d'angle de mesure5p/6 .
(Voir figure en fin de corrigé)
2.
Pour n = 0 la formule est vérifiée.
Si     , alors par définition de Mn+1 et de f,
Soit :   : la formule est donc encore vraie à l'ordre n + 1.
En résumé si la formule est vraie à l'ordre n, elle est encore vraie à l'ordre n + 1.

Il en résulte donc bien que la formule est vraie pour tout entier naturel n.
3.
Deux points Mn et Mp sont confondus si et seulement si   est multiple de 2p, c'est à dire est multiple de 2.
Ces deux points sont donc confondus si et seulement si 5(n-p) est multiple de 12, c'est à dire que 12 divise 5(n-p).
12 est premier avec 5 : il divise donc (n-p) (théorème de Gauss).
Par conséquent les points Mn et Mp sont confondus si et seulement si (n-p) est multiple de 12.
4.
 
  1. On vérifie :12x4 - 5x9 = 48-45 = 3 .
    Le couple (4 ; 9) est bien solution de (E).
    Si 12x - 5y = 3 et 12,  alors 12(x-4) - 5(y-9) = 0 ou encore 12(x-4) = 5(y-9).
    5 divise 12(x-4) , et est avec 12 donc 5 divise (x-4).
    Les solutions sont alors les couples (4+5k ; 9+12k) avec k dans .
  2. Mn appartient à la demi-droite [Ox) si et seulement si   est multiple de 2p,
    (pour le voir, considèrer les arguments des nombres omplexes!)
    c'est à dire est 3+5n est multiple de 12  ou encore, il existe x entier relatif tel que
    3+5n = 12x .. c'est à dire de  12x - 5n = 3 .
    D'après (a), les entiers naturels n sont n = 9 +12k , avec k entier naturel quelconque.

    Figure demandée à la question     1.