Donc une solution particulière de 6x + 7y = 57 est (x , y) = (-57 , 57)
Si (x , y) est une solution de 6x + 7y = 57
comme 6(-57) + 7(57) = 57 , on a: 6(x+57) + 7(y-57) = 0
6 et 7 sont premiers entre eux, donc 6 devise (y-57).
Donc il existe un entier relatif k tel que (y-57) = 6k ou encore, y = 6k + 57.
On remplace alors y par 6k + 57 dans 6(x+57) + 7(y-57)=0
et on obtient x = -7k - 57.
On vérifie alors que pour tout entier relatid k, (-7k - 57 , 6k + 57) est bien solution de (E)
L'ensemble des solutions de (E) est donc formé des couples (-7k - 57 , 6k +57)
où k est un entier relatif quelconque.
Donc M(x,y,z) appartient à P et à (O;i,j) si et seulement si ses coordonnées vérifient
z = 0 et 6x + 7y = 57
Si les coordonnées de M sont entières, d'après la question 1:, il existe un entier relatif k tel que:
x = -7k - 57 et y = 6k +57
Comme on veut x et y entiers naturels, on a donc -7k - 57 > 0 et 6k + 57 > 0
D'où k < -57 / 7 et k > -57 / 6 . D'où, k étant un entier, on a: k = -9.
On a alors x = 6 et y = 3
Conclusion:
Il existe un unique point à coordonnées entières naturelles répondant à la question:
C'est le point M(6 ; 3 ; 0).
57 [2] donc y
1 [2] , c'est à dire, y est impair.b: Encore une question de congruence !
6x + 7y + 8z
2y + 2z [3] et 57
0 [3]Donc , en posant y = 2p+1 , on a : 2(2p+1) + 2z
0 [3]Ou encore : p + 2 + 2z
0 [3]On a alors: p + z
-2 [3] ou encore p + z
1 [3]Donc, le reste de la division euclidienne de p+z par 3 est R = 1.
c: p + z = 3q + 1 donc z = 3q + 1 - p .
On a 6x + 7y + 8z = 57 donc 6x + 7(2p+1) + 8(3q+1-p) = 57
Ce qui donne 6x + 6p + 24q = 42 et donc x + p + 4q = 7
Comme x , p et q sont des entieres naturels, on a alors 0 < 4q < 7
d'où q = 0 ou q = 1
d: Pour q = 0, on a p + z = 1 , donc (p=0 et z=1 ) ou (p=1 et z=0)
---- Si p = 0 et z = 1 alors y = 1 et x = (57 - 7y - 8z)/6 = 7. On alors la solution (7 , 1 , 1)
----- Si p = 1 et z = 0 alors y = 3 et x = 6 . On a alors la solution (6 , 3 , 0)
Pour q = 1, on a p + z = 4 donc (p=0 et z=4) ou (p=1 et z=3) ou (p=2 et z=2) ou (p=3 et z=1) ou (p=4 et z=0)
----- Si p = 0 alors de 'x+p+4q=7', on a x = 3 , d'où la solution (3 , 1 , 4)
----- Si p = 1 alors on a x = 2 d'où la solution (2 , 3 , 3)
----- Si p = 2 alors on a x = 1 d'où la solution (1 , 5 , 2)
------ Si p = 3 alors on a x = 0 d'où la solution (0 , 7 , 1)
------ Si p = 4 alors x = -1, et la solution obtenue n'est entière naturelle.