et celles de C sont (0 ; y). D'où les coordonnées des vecteurs :
La relation
implique que le produit scalaire 
est nul, d'oùx et y vérifient la relation -12(x-12) - 18(y-18) = 0
D'où le couple (x ; y) vérifie l'équation 2x + 3y = 78 après simplification.
et 
, on peut voir que 
si et seulement si
Ceci peut aussi s'écrire: (-12 + (y-18)i)( x - 12 + 18i) = Ki avec K réel < 0.
D'où (x ; y ) vérifie :
-12(x - 12) - 18(y - 18) + i[(y-18)(x-12) - 216] = Ki avec K réel < 0
Ce qui conduit à:
2x + 3y = 78 et (y-18)(x-12)-216 < 0.
Or , si 2x + 3y = 78 alors (y - 18)(x - 12) - 216 = -(2/3)x² + 16x - 312
et -(2/3)x² + 16x - 312 < 0 pour tout x réel (second degré et discrimant <0.... )
Donc la condition pour avoir
se résume à "2x + 3y = 78".b: Un solution particulière est xo = 12 et yo = 78.
c: (x ; y) solution de (E) si et seulement si 2x + 3y = 78
Or, 2xo + 3yo = 78 donc (x ; y) solution de (E) si et seulement si 2(x-xo) + 3(y-yo) = 0
D'où , si et seulement si 2(x-xo) = -3(y-yo)
2 et 3 sont premiers entre eux. Le relation prcédente montre que 3 divise 2(x-xo)
donc 3 divise (x-xo) donc il existe k entier relatif tel que x-xo = 3k ou encore x = 3k+xo
D'où 6k = -3(y-yo) d'où y = yo - 2k. avec xo = 12 et yo = 18
Donc les solutions de (E) sont nécessairement de la forme
(x = 12 + 3k ; y = 18 - 2k) avec k entier relatif.
On vérifie alors que le couple (12 + 3k ; 18 - 2k) est bien une solution de (E).
Donc que l'on a bien toutes les solutions sous cette forme.
d: -6 < x < 21 si et seulement si -6 < 12 + 3k < 21 si et seulement si -6 < k < 3
-5 < y < 14 si et seulement si -5 < 18- 2k < 14 si et seulement si 2 < k < 11,5
D'où , comme k est entier relatif, k = 2 ou k = 3.
D'où les deux seuls couples correspondants (18 ; 12) et (21 ; 9)