INTRODUCTION : RECURRENCE et PROPRIETES DE Z

L'ensemble des entiers naturels est noté N et l'ensemble des entiers relatifs est noté Z.
Z est muni des deux "opèrations" usuelles, l'addition et la multiplication.
Les propriétés de ces opérations sont rappelées par la suite.
L'arithmétique est l'étude des propriètés algébriques des entiers relatifs, ou plus simplement des entiers naturels.

Z est aussi muni d'une relation d'ordre total < . L'ensemble des entiers est donc totalement ordonné.
Cette relation induit naturellement le principe du Raisonnement par Récurrence qui est à la base des principaux résultats d'arithmétique.

RECURRENCE
Considérons une partie E de Z admettant un plus petit élément e₀. On peut alors ordonner les éléments de E suivant une suite (e_n) par ordre croissant, suite qui est finie si E ne possède qu'un nombre fini d"éléments.
Le principe du raisonnement par récurrence est alors:

C'est le principe de la Récurrence "montante".
On peut aussi bien définir la Récurrence "descendante".

C'est le principe même de l'induction définie par la relation d'ordre totale < qui est à l'origine
des premiers résulats non triviaux d'arithmétique et qui a été utilisé par Fermat pour montrer
que l'équation X⁴ + Y⁴ = Z⁴ n'admet aucune solution en nombres entiers X , Y , Z non nuls.

PROPRIETE DE Z

Il ne peut y avoir d'étude des propriétés des entiers sans une étude préalable de la structure de Z ou, pour le moins, une description de quelques propriétés simples de Z.

L'arithmétique est l'étude des propriétés algébriques des entiers relatifs, mais qu'appelle-t-on algébre dans Z?
L'algébre de Z se résume aux deux opérations usuelles. L'addition et la multiplication. Les propriétés élémentaires de ces opérations sont:

On résume ces quatres propriétés en disant que Z muni de la loi + est un groupe.
Ou encore, que (Z , + ) est un groupe.
Comme pour tout ( a , b) Z , a + b = b + a, on dit que la loi + est commutative.
On résume alors l'ensemble des ces cinqs propriétés en disant que (Z , + ) est un groupe commutatif ou un groupe abélien, en hommage à Abel, Mathématicien norvégien précurseur de la théorie des Groupes.

Si un ensemble E est muni d'une Loi Interne * , (par exemple, IR muni de l'addition, ou encore l'ensemble des nombres complexes de module égal à 1 muni de la multiplication, ou encore, l'ensemble des permutations ou bijections sur un ensemble muni de la loi de composition des applications) telle que *  ait les mêmes proprités que + dans Z, excepté peut-être le fait que la Loi * est commutative ( a * b = b * a) , on dit alors que (E , * ) est un groupe.
Si de plus, cette loi est commutative, on dit alors que ce groupe est commutatif ou abélien.

La deuxième opération usulle de Z est la multiplication . qui est entièrement définie par rapport à l'addition.
Les propriétés de la multiplcation sont:

On résume alors l'ensemble des toutes ces propriétés en disant:

(Z , + ) est un groupe commutatif
(Z , + , . ) est un anneau commutatif car la multiplication est commutative dans Z.

Parmi les sous-ensembles de Z, il en existe une catégorie assez remarquable, ce sont ceux qui possédent les mêmes propriétés que Z par rapport à l'addition et la multiplication.
Prenons par exemple l'ensemble des nombres relatifs pairs, donc de la forme (2n) où n est un entier dans Z quelconque. On note cet ensemble 2Z

La somme de nombres pairs est un nombre pair, donc l'addition est interne dans 2Z.
L'addition étant associative dans Z, elle l'est aussi dans 2Z.
Si a est un nombre pair alors son symétrique (-a) est aussi pair donc appartient à 2Z.
Enfin, 0, l'élément neutre de l'addition, appartient à 2Z car c'est bien sur un nombre pair.

L'ensemble 2Z muni de l'addition + est donc aussi un groupe. Comme + l'addition est commutative sur les nombres pairs, on peut dire que (2Z , + ) est aussi un groupe commutatif.
Comme 2Z est inclu dans Z , on dit alors que (2Z , + ) est un sous-groupe de (Z , +).

Si G est une partie de Z possédant les mêmes propriétés que Z par rapport à l'addition, alors comme tout élément a de G posséde son opposé dans G, G a des éléments négatifs et des éléments positifs.
Appelons A le plus petit de ses éléments positfs, alors comme + est une loi interne dans G, les sommes A + A   , A  + A + A ,  A + A + A + A ,  A + A +....+ A  sont dans G ainsi que leurs opposés.
On voit donc que pour tout entier relatif n, on a nA G.
L'ensemble des multiples AZ de A est dans dans G.
Supposons maintenant qu'un élément R de G ne soit pas multiple de A. On peut supposer que R est positif sinon on prend (-R) qui est aussi dans G.
Alors, comme l'ensemble des multiples de A est infini, R peut être encadré entre deux multiples de A.
Il existe donc un entier n positif tel que  nA < R < (n + 1)A.
Mais comme R - nA appartient à G et que ce nombre est strictement plus petit que A, on en déduit qu'il existe un élément strictement positif dans G qui soit inférieur à A.
Comme A doit être le plus petit élément positif de G, il y a une contradiction avec l'existence de R.

Donc, G est exactement l'ensemble des multiples de A.
CONCLUSION
Propriété 1:
Si une partie G de Z est telle que (G , + ) est un groupe, donc un sous-groupe de (Z , +)
alors il existe un entier a tel que G soit l'ensemble des multiples de a.
Autrement dit, tout sous-groupe de (Z , + ) est de la forme  (aZ , + ).

Conséquences directes.
Si on considère deux entiers a et b, les ensembles aZ et bZ  des multiples de a et de b sont des sous-groupes de Z pour l'addition.
On vérifie sans problème que l'intersection G de ces deux ensembles est aussi un sous-groupe de Z pour l'addition.
Donc il existe un entier positif m tel que mZ = aZ bZ.
Et c'est le plus petit entier positif possédant cette propriété. C'est le PPCM de a et b.

Si maintenant on considère l'ensemble G formé des éléments g de la forme : g = A + B, où
A est un élément quelconque de aZ et B un élément quelconque de bZ.
On note alors G = aZ + bZ = { g Z  / il existe A aZ et B Z  tel que A + B = g }.
On vérifie sans problème que G est un groupe pour l'addition, donc un sous-groupe de Z.
Il existe donc un entier positif d tel que dZ = G. = aZ + bZ.
Comme a dZ  et b dZ , on peut dire que a et b sont des multiples de d ou que d est un diviseur de a et b. On peut alors montrer que d est le plus grand diviseur commun à a et b.
Cet élément est unique et est le PGCD de a et b.

De là, on en déduit que si a et b n'admettent aucun diviseur commun à part 1 et -1, (on dit qu'ils sont premiers entre eux), alors d = 1. Donc, il doit exister A aZ et B bZ tel que A + B = 1.
Il existe donc deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1.
C'est le Théorème de Bachet-Bezout.