Exercice 2: (Correction)
On considère l'équation (E) : 36x - 25 y
= 5 , ( x , y )  Z².
a: Déterminez deux entiers relatifs u et v
tels que 36u + 25v = 1.
b: Donnez alors une solution particulière de (E).
c: Quel est l'ensemble des solutions de (E) ?
d: ( x , y) étant une solution particulière de
(E), on appelle d le PGCD de x et y.
Quelles sont les valeurs
possibles de d?
Quelles sont les solutions (x
, y) de (E) telles que x et y
soient premiers entre eux?
Exercice 3: (Correction)
On pose a = 1234 et b = 1200.
a: Déterminez le PGCD d et le PPCM m
de a et b.
b: (E) est l'équation dans Z² : ax
+ by = 2d.m
Donnez une solution évidente
de cette équation.
Déterminez l'ensemble des
solutions de (E).
Exercice 4: (Correction)
(E) est l'équation dans Z² : 36x
- 49y = 13.
a: Déterminez l'ensemble des solutions de (E).
b: Peut-on trouver un couple (x , y) dans Z
tel que (x² , y²) soit solution de (E)
?
c: Peut-on trouver x Z tel que (x , x)
soit solution de (E) ?
Exercice 5: (Correction)
(E) est l'équation dans Z²: 2x + 5y
= 1000. et (F) est l'équation : 2x² + 5y²
= 1000
a: Déterminez l'ensemble des solutions de (E).
b: Montrez que l'ensemble des solutions de (F) est fini.
c: Montrez que si (x , y) est solution de (F)
alors | x | < 23 et | y | < 15.
d: En remarquant que (x , y) est solution de (F)
si et seulement si (|x| , |y|) est
aussi solution
de (F), et en utilisant la question a:
, montrez que (F) n'admet aucune solution.
e: On veut retrouver le résultat de la question précédente
directement.
On suppose qu'il existe (xo
, yo ) solution de (F) avec xo et yo
> 0
Montrez que xo est un
multiple de 5 et que yo est un multiple de
2.
Montrez alors que l'équation (F1)
: 5x² + 2y² = 100 admet une solution
(x1 , y1) dans N.
Montrez que x1
est un multiple de 2 et que y1 est un
multiple de 5.
Montrez alors que l'équation (F2)
: 2x² + 5y² = 10 admet une solution (x2
, y2) dans N.
Montrez alors que l'équation (F3)
: 5x² + 2y² = 1 admet une solution
dans N.
Concluez!!
Exercice 6: (Correction)
a et b sont deux entiers > 1
premiers entre eux.
On vous inspirant de l'exercice précédent, montrez que
pour tout n entier > 0, l'équation
(E) : ax² + by² = (ab)n
n'admet aucune solution dans Z².
Exercice 7: Guadeloupe-Guyane-Martinique Juin-99
correction
Dans le plan muni d'un repère orthonormé (O;
![[Maple Math]](vect(i).gif)
,
![[Maple Math]](vect(j).gif)
), on donne le point A (12 ; 18). On désigne par B un point de l'axe (O ;
) et par C un point de l'axe (O ;
) tels que :
(
![[Maple Math]](vect(ab,ac).gif)
) =
![[Maple Math]](arith24.gif)
On appelle
x
l'abscisse de B et
y
l'ordonnée de C.
1:
Démontrer que le couple (
x ; y
) est solution de l'équation (E) : 2
x
+ 3
y
=
78
2:
On se propose de trouver tous les couples (B , C) de points ayant pour coordonnées des entiers relatifs.
a:
Montrer que l'on est ramené à l'équation (E), avec
x
et
y
appartenant à l'ensemble des entiers relatifs
Z
b:
A partir de la définition de B et de C, Trouver une solution particulière (Xo ; Yo) de (E), avec Xo et Yo appartenant à
Z
.
c:
Démontrer qu'un couple (
x
;
y
) est solution de (E) si et seulement si il est de la forme
( 12 + 3k ; 18 - 2k ) où k appartient à
Z
.
d:
Combien y-a-t-il de couples de points (B , C) ayant pour coordonnées des nombres entiers relatifs tels que:
-6 <
x
< 21 et -5 <
y
< 14 ?
Exercice 8: Asie
Juin-99
1:
On considère l'équation (E) : 8x + 5y = 1 , où (x ; y) est un couple d'entiers relatifs.
a:
Donner une solution particulière de (E).
b:
Résoudre l'équation (E).
2:
Soit N un entier naturel tel qu'il existe un couple (a ; b) d'entiers tels que :
N = 8a + 1
N = 5b + 2
a:
Montrer que le couple (a ;-b) est solution de (E).
b:
Quel est le reste, dans la division de N par 40 ?
3:
a:
Résoudre l'équation 8x + 5y = 100, où (x ; y) est un couple d'entiers relatifs.
b:
Au 8° siècle, un groupe d'hommes et de femmes a dépensé 100 pièces de monnaie dans une auberge. Les hommes ont dépensé 8 pièces chacun et les femmes 5 pièces chacunes.
Combien pouvait-il y avoir d'hommes et de femmes dans le groupe ?
Exercice 9:
a
et b sont deux entiers naturels non nuls tels a > b.
On définit la suite (Un) par:
Uo = a et U1 = b , et pour tout n entier > 1, Un = |Un-1 - Un-2|
a: Montrer que pour tout n > 0, si Un et Un-1 sont
non nuls alors
PGCD( a ; b ) = PGCD( (Un ; Un-1 )
b: Que peut-on en déduire s'il existe un terme de la, suite U égal à 1 ?
c: Montrer que 100000000000001 et 200000000000001 sont
premiers entre eux.
Exercice 10 :Sujet national Bac S Juin 2001
Correction
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O
; u , v)
[unité graphique : 6
cm].
On considère la transformation f du plan qui a tout point M d'affixe z
associe le point M' d'affixe z' définie
par :
z' = z e 5ip/6
et on définit une suite de points (Mn) de la manière suivante:
Mo a pour affixe
z0 = eip/2 et pour tout entier
naturel n , Mn+1=f(Mn).
On appelle zn l'affixe de Mn .
1:
Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de f.
Placer les points M0,
M1
, M2.
2: Montrer que pour tout entier naturel n, on a l'égalité :
(on pourra utiliser
un raisonnement par récurrence).
3: Soient deux entiers n et p tels que n soit supérieur ou égal à p.
Montrer
que deux points Mn et Mp sont confondus si et seulement si
(n - p) est multiple de 12.
4:
a) On considère l'équation (E) : 12x - 5y = 3 où x et y
sont des entiers relatifs.
Après avoir vérifié que le couple (4, 9) est
solution, résoudre l'équation (E).
b) En déduire l'ensemble des entiers naturels n tels que
Mn appartienne à
la demi-droite [Ox).
Exercice
11 :Sujet national Bac S Juin 2002 Correction
1. On considère l'équation (E) : 6x + 7y = 57 où x et y sont des entiers
relatifs.
a. Déterminer un couple d'entiers relatifs (u , v)
tel que 6u + 7v = 1.
En déduire une solution particulière (x0,
y0) de l'équation (E).
b. Déterminer les couples d'entiers relatifs solutions de l'équation (E).
2. Soit (O ; i , j , k) un repère orthonormal de l'espace.
On considère le plan P
d'équation : 6x + 7y + 8z = 57.
On considère les points du plan P qui appartiennent aussi au plan (O;
i , j).
Monter qu'un seul de ces points a pour coordonnées des entiers naturels.
Déterminer les coordonnées de ce point.
3. On considère un point M du plan P dont les coordonnées x, y et z sont des
entiers naturels.
a. Montrer que l'entier y est impair.
b. On pose y = 2p + 1 où p est un entier naturel.
Monter que le reste dans
la division euclidienne de p + z par 3 est égal à 1.
c. On pose p + z = 3q + 1 où q est un entier naturel.
Montrer que les
entiers naturels x, p et q vérifient la relation : x + p + 4q = 7
En déduire
que q prend les valeurs 0 ou 1.
d. En déduire les coordonnées de tous les points de P dont les coordonnées
sont des entiers naturels.
Exercice
12 :Sujet national Bac S Juin 2003 Correction
1: L'espace est rapporté au repère (O; i , j , k)
a:
Montrer que les plans P et Q d'équation respectives  et 2x - z = 0
ne sont pas parallèles.
b:Donner
un système d'équations paramètriques de la droite
Delta intersection des plans P et Q.
c: On considère le cône
de révolution G d'axe (Ox)
contenant la droite D comme génératrice.
Montrer que Ga pour équation cartésienne
y ² + z ² = 7x ² .
2: On a représenté sur les deux figures ci-dessous les
intersections de G avec des plans parallèles
aux axes de coordonnées.
Déterminer
dans chaque cas une équation des plans possibles, en justifiant
avec soin votre réponse.
3: a: Montrer que l'équation x ² = 3 [7] , dont
l'inconnue x est un entier relatif, n'a pas de solution.
b:
Montrer la propriété suivante :
"Pour
tous entiers relatifs a et b, si 7 devise a ²
+ b ² alors 7 divise a et 7 divise b ".
4: a: Soient a, b et c des entiers relatifs non
nuls. Montrer la propriété suivantes :
"Si
le point A de coordonnées (a , b , c) est un point du
cône G
alors
a et b sont divisibles par 7."
b: En déduire
que le seul point de G dont les
coordonnées sont des entiers relatifs est le
sommet
de ce cône.
Exercice
13 : Sujet national Septembre 2003 Correction
On rappelle
que 2003 est un nombre premier.
1: a: Déterminer
deux entiers relatifs u et v tels que : 123u
+ 2003v = 1.
b: En déduire
un entier relatif ko tel que 123ko 
1 [2003].
c: Montrer que, pour
tout entier relatif x ,
123x
456 [2003] si et seulement si x
456ko [2003]
d: Déterminer
l'ensemble des entiers relatifs x tels que:
123x
456 [2003]
e: Montrer qu'il
existe un unique entier n tel que:
1
< n < 2002 et 123n
456 [2003]
2: Soit a un entier tel que: 1
< a < 2002
a:
Déterminer PGCD(a , 2003)
En
déduire qu'il existe un entier m tel que
: am
1 [200]
b: Montrer que, pour
tout entier b, il existe un unique entier x
tel que:
0
< x < 2002 et ax
b [2003]
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