Exercice 2: (Correction)
On considère l'équation (E) : 36x - 25 y = 5 , ( x , y ) Z².
a: Déterminez deux entiers relatifs u et v tels que 36u + 25v = 1.
b: Donnez alors une solution particulière de (E).
c: Quel est l'ensemble des solutions de (E) ?
d: ( x , y) étant une solution particulière de (E), on appelle d le PGCD de x et y.
     Quelles sont les valeurs possibles de d?
     Quelles sont les solutions (x , y) de (E) telles que x et y soient premiers entre eux?

Exercice 3: (Correction)
On pose a = 1234 et b = 1200.
a: Déterminez le PGCD d et le PPCM m de a et b.
b: (E) est l'équation dans Z² : ax + by = 2d.m
     Donnez une solution évidente de cette équation.
     Déterminez l'ensemble des solutions de (E).

Exercice 4: (Correction)
(E) est l'équation dans Z² : 36x - 49y = 13.
a: Déterminez l'ensemble des solutions de (E).
b: Peut-on trouver un couple (x , y) dans Z tel que (x² , y²) soit solution de (E) ?
c: Peut-on trouver x Z tel que (x , x) soit solution de (E) ?

Exercice 5: (Correction)
(E) est l'équation dans Z²: 2x + 5y = 1000. et (F) est l'équation : 2x² + 5y² = 1000
a: Déterminez l'ensemble des solutions de (E).
b: Montrez que l'ensemble des solutions de (F) est fini.
c: Montrez que si (x , y) est solution de (F) alors | x | < 23 et | y | < 15.
d: En remarquant que (x , y) est solution de (F) si et seulement si (|x| , |y|) est aussi solution
   de (F), et en utilisant la question a: , montrez que (F) n'admet aucune solution.
e: On veut retrouver le résultat de la question précédente directement.
    On suppose qu'il existe (xo , yo ) solution de (F) avec xo et yo > 0
    Montrez que xo est un multiple de 5  et que yo est un multiple de 2.
    Montrez alors que l'équation (F1) : 5x² + 2y² = 100 admet une solution (x₁ , y₁) dans N.
    Montrez que x₁ est un multiple de 2 et que y₁ est un multiple de 5.
    Montrez alors que l'équation (F2) : 2x² + 5y² = 10 admet une solution (x₂ , y₂) dans N.
    Montrez alors que l'équation (F3) : 5x² + 2y² = 1 admet une solution dans N.
    Concluez!!

Exercice 6: (Correction)
a et b sont deux entiers > 1 premiers entre eux.
On vous inspirant de l'exercice précédent, montrez que pour tout n entier > 0, l'équation
(E) : ax² + by² = (ab)ⁿ n'admet aucune solution dans Z².

Exercice 7: Guadeloupe-Guyane-Martinique Juin-99  correction
Dans le plan muni d'un repère orthonormé (O; , ), on donne le point A (12 ; 18). On désigne par B un point de l'axe (O ; ) et par C un point de l'axe (O ; ) tels que :   ( ) =

On appelle x l'abscisse de B et y l'ordonnée de C.

1: Démontrer que le couple ( x ; y ) est solution de l'équation (E) : 2 x + 3 y = 78

2: On se propose de trouver tous les couples (B , C) de points ayant pour coordonnées des entiers relatifs.
a: Montrer que l'on est ramené à l'équation (E), avec x et y appartenant à l'ensemble des entiers relatifs Z
b:  A partir de la définition de B et de C, Trouver une solution particulière (Xo ; Yo) de (E), avec Xo et Yo appartenant à Z .
c: Démontrer qu'un couple ( x ; y ) est solution de (E) si et seulement si il est de la forme

( 12 + 3k ; 18 - 2k ) où k appartient à Z .

d: Combien y-a-t-il de couples de points (B , C) ayant pour coordonnées des nombres entiers relatifs tels que:

-6 < x < 21 et -5 < y < 14 ?

Exercice 8: Asie Juin-99

1: On considère l'équation (E) : 8x + 5y = 1 , où (x ; y) est un couple d'entiers relatifs.
a: Donner une solution particulière de (E).
b: Résoudre l'équation (E).

2: Soit N un entier naturel tel qu'il existe un couple (a ; b) d'entiers tels que :

N = 8a + 1

N = 5b + 2

a: Montrer que le couple (a ;-b) est solution de (E).
b: Quel est le reste, dans la division de N par 40 ?

3:
a: Résoudre l'équation 8x + 5y = 100, où (x ; y) est un couple d'entiers relatifs.
b: Au 8° siècle, un groupe d'hommes et de femmes a dépensé 100 pièces de monnaie dans une auberge. Les hommes ont dépensé 8 pièces chacun et les femmes 5 pièces chacunes.
Combien pouvait-il y avoir d'hommes et de femmes dans le groupe ?

Exercice 9:
a et b sont deux entiers naturels non nuls tels a > b.
On définit la suite (U_n) par:

 a: Montrer que pour tout n > 0, si U_n et U_n-1 sont non nuls alors
     PGCD( a ; b ) = PGCD( (U_n ; U_n-1 )
b: Que peut-on en déduire s'il existe un terme de la, suite U égal à 1 ?
c: Montrer que 100000000000001 et 200000000000001 sont premiers entre eux.

Exercice 10 :Sujet national Bac S Juin 2001  Correction
 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; u  , v)
[unité graphique : 6 cm].
On considère la transformation f du plan qui a tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' définie par :
                                           z' = z e ^5ip/6
et on définit une suite de points (M_n) de la manière suivante:
Mo a pour affixe z₀ = e^ip/2 et pour tout entier naturel n , M_n+1=f(M_n).
On appelle z_n l'affixe de M_n  .
1: Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de f.
    Placer les points M₀, M₁ , M₂.
2: Montrer que pour tout entier naturel n, on a l'égalité :
                      
                                       
    (on pourra utiliser un raisonnement par récurrence).
3: Soient deux entiers n et p tels que n soit supérieur ou égal à p.
    Montrer que deux points M_n et M_p sont confondus si et seulement si
    (n - p) est multiple de 12.
4: a) On considère l'équation (E) : 12x - 5y = 3 où x et y sont des entiers relatifs.
        Après avoir vérifié que le couple (4, 9) est solution, résoudre l'équation (E).
    b)  En déduire l'ensemble des entiers naturels n tels que M_n appartienne à
         la demi-droite [Ox).

Exercice 11 :Sujet national Bac S Juin 2002 Correction
1. On considère l'équation (E) : 6x + 7y = 57 où x et y sont des entiers relatifs.
a. Déterminer un couple d'entiers relatifs (u , v) tel que 6u + 7v = 1.
    En déduire une solution particulière (x₀, y₀) de l'équation (E).
b. Déterminer les couples d'entiers relatifs solutions de l'équation (E).

2. Soit (O ; i , j , k) un repère orthonormal de l'espace.
    On considère le plan P d'équation : 6x + 7y + 8z = 57.
    On considère les points du plan P qui appartiennent aussi au plan (O; i , j).
    Monter qu'un seul de ces points a pour coordonnées des entiers naturels.
    Déterminer les coordonnées de ce point.

3. On considère un point M du plan P dont les coordonnées x, y et z sont des entiers naturels.
   a. Montrer que l'entier y est impair.
   b. On pose y = 2p + 1 où p est un entier naturel.
        Monter que le reste dans la division euclidienne de p + z par 3 est égal à 1.
   c. On pose p + z = 3q + 1 où q est un entier naturel.
        Montrer que les entiers naturels x, p et q vérifient la relation : x + p + 4q = 7
        En déduire que q prend les valeurs 0 ou 1.
   d. En déduire les coordonnées de tous les points de P dont les coordonnées sont des entiers naturels. 

Exercice 12 :Sujet national Bac S Juin 2003  Correction

Exercice 13 : Sujet national Septembre 2003  Correction
On rappelle que 2003 est un nombre premier.
1: a: Déterminer deux entiers relatifs u et v tels que : 123u + 2003v = 1.
    b: En déduire un entier relatif ko tel que 123ko 1 [2003].
    c: Montrer que, pour tout entier relatif x ,
                             123x 456 [2003] si et seulement si x 456ko [2003]
    d: Déterminer l'ensemble des entiers relatifs x tels que:
                             123x 456 [2003]
     e: Montrer qu'il existe un unique entier n tel que:
                  1 < n < 2002  et  123n 456 [2003]

2: Soit a un entier tel que:    1 < a < 2002
    a: Déterminer PGCD(a , 2003)
        En déduire qu'il existe un entier m tel que : am 1 [200]
    b: Montrer que, pour tout entier b, il existe un unique entier x tel que:
         0 < x < 2002  et  ax   b [2003]