Retour à l'exercice       Correction Exercice Septembre 2003 Baccalauréat S :

1:  Passer par l'alogorithme d'Euclide: Posons a = 2003 et b = 123
a)  a = 16xb+ 35   ,  b = 3x35 + 18  ,  35 = 1x18 + 17 ,  18 = 1x17 + 1.
    Donc,
               35 = a - 16xb et  18 = b - 3x35  donc 18 = b - 3(a-16xb) = 49b - 3a
               17 = 35 - 18   donc  17 = (a - 16b) - (49b - 3a) = 4a - 65b
                 1 = 18 - 17   donc    1 = (49b - 3a) - (4a - 65b) = 114b - 7a.
    On a donc une solution u et v : u = 114 et v = -7
  

b) La relation 114x123  - 7x2003 = 1 implique que 114x123 1 [2003].
    Il existe donc bien un entier relatif ko répondant à la question.
    On peut choisir ko = 114.

c) On sait que 123ko 1 [2003].  Soit x un entier relatif:
    Si 123x 456 [2003] alors kox123x 456ko [2003] donc x 456ko [2003]
    Si x 456ko [2003] alors 123x 456ko123 [2003] donc 123x 456 [2003]
    On a bien l'équivalence demandée.

d) Les entiers relatifs vérifiant 123x 456 [2003] sont ceux vérifiant x 456ko [2003]
     Or, 456ko 1909 [2003] donc l'ensemble des x entiers relatifs vérifiant: 123x 456 [2003]
     est l'ensemble des x tels que x 1909 [2003] donc de la forme x = 2003k + 1909
     où k est un entier relatif quelconque.

e) Et pour cause! C'est x = 1909 .....

2:  1 < a < 2002
a) 2003 est premier donc il est premier avec tout entier a compris entre 1 et 2002.
    Donc PGCD(a , 2003) = 1
    D'après le Théorème de Bachet-Bezout, on sait qu'il existe alors deux entiers relatifs
    n et m tels que 2003n + am = 1.
    Donc: tels que 2003n + am 1 [2003]  d'où il existe bien m entier tel que am 1 [2003]
b) Si b est un entier quelconque, alors en particulier, on a : abm b [2003].
     Or, il existe un entier x tel que 0 < x < 2002 et x bm [2003]
      x est simplement le reste dans la division euclidienne de bm par 2003.
      De plus, si existe un autre entier y compris entre 0 et 2002 vérifiant ay b [2003]
      alors ax ay [2003]  donc a(x-y) 0 [2003].
      a(x-y) est alors divisible par 2003. a est premier avec 2003 donc 2003 divise (x-y).
      Comme x et y sont entre 0 et 2002, on a |x-y| < 2003. Donc la seule possibilité est |x-y| = 0.
      D'où x = y.
      Conclusion: Il y a bien existence ET unicité de la solution de
      0 < x < 2002 et ax b [2003]