1. Trouver les couples (a , b) d'entiers naturels tels que 0 < a < b dont le PGCD d et le PPCM m vérifient   :  
    2    m + 3d = 78 et tels que a ne soit pas un diviseur de b.
    Correction
  2. Déterminer les paires d'entiers naturels  {a,b} vérifiant: m - 18d = 791
    où     m est le PPCM et d le PGCD des nombres a et b.
    Correction
  3.  Déterminer tous les couples (a,b) d'entiers naturels tels que
    PGCD(    a,b) + PPCM(a,b) = b + 9.
    Correction
  4.  Trouver les couples d'entiers naturels (a,b) vérifiant le système:

    5.  

    a + b = 651

    PPCM(    a,b) = 108.PGCD(a,b)
    Correction
  5.  Déterminer tous les couples d'entiers naturels (a,b) tels que
    PGCD(    a,b) = 10 et PPCM(a,b) = 100
  6. Soient n et m deux entiers naturels non nuls. Soit z un nombre complexe vérifiant:
    z n = 1  et  z m = 1.
    Montrez que     z d = 1 où d = PGCD(n,m)
    Correction
  7. Déterminez tous les couples d'entiers naturels (a,b) tels que:
    m2 - 5d2 = 2000
    Puis déterminer tous les couples d'entiers naturels (    a,b) tels que:
    m2 - 7d2 = 2000
    où     d = PGCD(a,b) et m = PPCM(a,b).
    Correction
  8. Soit n un entier naturel. On étudie l'équation (x - 2n)(y - 2n) = 2 n²  (1)   
     dont les couples solutions sont éléments de Z²
    1) Soit (x,y) une solution de (1) et d le PGCD de x - 2n et y - 2n .
        Démontrer que d est un diviseur de PGCD(x,y).
    2) (x,y) étant une solution de (1), à partir de la relation x² + y² =(x+y-2n)²,
        déduire que PGCD(x,y) divise d.
    3) Montrer que si (x,y) est une solution de (1) alors PGCD(x,y) divise n.
    4) Lorsque n=30 résoudre le système constitué de (1) et de PGCD(x,y)=1

  9.  (Un)n est une suite d'entiers naturels vérifiant la propriété suvante:
    "Pour tout couple d'entiers naturels (n,p) , PGCD(Un,Up)=PGCD(Un,Up+n)"
    a: Montrer que pour tout n dans , Un est un diviseur de U0 .
    b: Montrer que pour tout (n,p) couple d'entiers naturels, on a:
        PGCD(Un,Up) = UPGCD(Un,Up).
    Correction