*Retour Accueil*   Liste 4 : Exercices sur CONGRUENCE

1. Trouvez, suivant les valeurs de l'entier naturel n, le reste de la division euclidienne de 3ⁿ par 8.
   Quel est l'ensemble des entiers naturels n tels que le nombre 3ⁿ.n - 9n + 2 soit divisible par 8?
   Correction

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2. Montrez que pour tout entier n, 3ⁿ⁺³ - 4⁴ⁿ⁺² est divisible par 11.
   Correction

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3. Montrez que pour tout couple d'entiers relatifs (a , b), si a et b ne sont pas divisibles par 7 alors
   a² + b² n'est pas divisible par 7.
   Montrez que pour tout n entier naturel, 3²ⁿ⁺¹ + 2ⁿ⁺² est divisible par 7.
   Correction

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4. Déterminez l'ensemble des x entiers relatifs tels que : x² + 3x soit divisible par 7.
   Correction
   

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5. Pour n entier > 0 , on pose U_n = 1! + 2! + 3! + ... + n!
   a) Montrez que n est > 5 si et seulement si n! est divisible par 10.
   b) Montrez que n est > 10 si et seulement si n! est divisible par 100.
   c) Montrez que n est >  14 si et seulement si n! est divisible par 49.
   d) Montrez qu'il existe un entier no tel que pour tout n > no , U_n = U_no modulo 10.
   e) Montrez que qu'il existe un entier n₁ tel que pour tout n > n₁,  U_n = 47 modulo 49
   Correction
   

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6. Montrez que pour tout entier n > 1 ,  3.5^2n-1 + 2^3n-2 est divisible par 17 en effectuant un raisonnement par récurrence puis en faisant une démonstration directe.
   Correction
   

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7. Montrer que pour n entier naturel, (n+1)ⁿ-1 est divisible par n ² .
   (Indications: Factoriser (n+1)ⁿ-1  et passer aux congruences modulo n²)