Retour à l'Exercice:   Correction Exercice 1 Nombres de Mersenne

a: Faisons un raisonnemnt par l'absurde. Supposons que n ne soit pas premier.
On a donc n = ab avec a et b entiers > 1.
Rappelons l'identidé : X^k - 1 = (X-1)(X^k-1 + X^k-2 + ... + X + 1).
On peut alors écrire:
2^ab - 1 = (2^a)^b - 1 = (2^a -1)[(2^a)^b-1 + (2^a)^b-2 + ... + 1] , produit de deux entiers > 1.
D'où 2ab-1 n'est pas premier d'où la conclusion

b: 2¹¹ - 1 = 2047 = 23*89  donc 2¹¹-1 n'est pas premier