Retour a l'Exercice:    Correction Exercice 2 Petit Théorème de Fermat

a: Si p est premier et si n est entier avec 0 < n < p , alors:

On a donc la relation :
 

b: Il suffit alors , pour voir que (a + 1)^p - a^p - 1 d'utiliser la formule du binôme de Newton, et de constater qu'en développant (a + 1)^p - a^p - 1, il ne reste que des termes divisibles par p, d'après la question précédente.

c:  Même principe que la question précédente mais en faisant une récurrence sur b.

d: Conséquence directe des questions c: et b:

e: p est premier si et seulement si p est premier avec tout entier r appartenant à {1;2;...;p-1}.
Si p est premier alors pour tout r dans {1;2;...;p-1}, on a (r^p - r) divisible par p.
Or, (r^p - r) = r(r^p-1 - 1).  
Comme p et r sont premiers entre eux , on a alors (r^p-1 - 1) divisible par p, ou encore,
r ^p-1 1 [p]