Retour à l'Exercice:  Correction Exercice 4

Si n est le carré d'un nombre premier p, n = p² , alors les diviseurs de n dans N sont 1 , p et p².
n a donc exactement 3 diviseurs dans N.

Réciproquement, si n a exactement 3 diviseurs dans N, comme 1 et n sont des diviseurs de n, n a un autre diviseur p compris strictement entre 1 et n.
p est premier, car si d divise p alors d divise n. Donc, d = 1 ou p car les seuls diviseurs de n < n sont 1 et p.
Donc, en particulier, p est le seul diviseur premier de n.
Donc, la décomposition de n en facteurs premiers est : n = p^a , avec a > 1.
Le nombre de diviseurs de n est alors (a+1), d'où a = 2. D'où n = p².

D'où la conclusion....