Retour à l'Exercice:       Correction Exercice 9

a:  n étant un entier premier > 3,  n n'est pas divisible par 3 , donc : n 1 ou 2 [3]
     Si de plus n+2 est aussi premier, on a alors n+2 1 ou 2 [3]
     Mais si n 1 [3] alors n+2 3 [3] c.a.d , n+2 0 [3].  Ce qui est impossible.
     Donc, on doit avoir : n 2 [3]

b:  Toujours suivant le même principe, et d'après la questin a:, si (n , n+2) est un couple de nombres premiers jumeaux,
     alors n 2 [3] donc n + 4 6 [3] , d'où n + 4 0 [3].
     Donc, n + 4 est divisible par 3 et > 3 , donc n + 4 n'est pas premier.

c:  Par définition des nombres premiers, n est premiers si et seulement si n admet exactement 2 diviseurs dans N.
     1 et n lui-même.
     Or, n² + 2n = n(n + 2).
     Si n et n + 2 sont premiers alors n(n + 2) est la décomposition de n² + 2n en facteurs premiers.
      donc n² + 2n a bien 4 diviseurs : 1 , n , (n + 2) et n(n + 2).

      Réciproquement.
      Si n² + 2n a exactement 4 diviseurs,  comme 1 , n , n+2 et n² + 2n sont des diviseurs de n² + 2n, on a là tous les
      divisieurs de n² + 2n.
      n+2 et n² + 2n ne divise pas n. Donc, n n'admet aucun autre diviseur à part n et 1.
      (Sinon, un tel diviseur p diviserait aussi n² + 2n , et n² + 2n aurait plus de 4 diviseurs!)
      Donc, n est premier.
      Comme n > 3 et premier, n ne divise pas n+2.
      Donc, pour les mêmes raisons, (n + 2) n'admet pas d'autre diviseur à part 1 et (n + 2).
      Donc, (n + 2) est aussi premier.
      

      Conclusion:
      n et  (n + 2) sont premiers si et seulement si n² + 2n admet exactement 4 diviseurs.