- Nombres de Mersenne: Correction
a: Montrez que pour tout n entier naturel > 2 , si 2n
- 1 est premier alors n est premier
b: Montrez que 211 - 1 n'est pas premier
- Le petit Théorème de FERMAT: Correction
Soit p un entier naturel premier et n un entier strictement
compris entre 0 et p.
b : Montrez que, pour tout entier naturel a, (a + 1)p
- ap - 1 est divisible par p.
c : Montrez que, pour tout b entier naturel, si (bp
- b) est divisible par p alors
(b +1)p
-(b +1) l'est aussi.
d : Déduisez-en le petit théorème de Fermat:
"Pour
tout entier p premier et tout a entier , ap
 a [p] "
e:
Montrez que p est premier si et seulement si pour tout r 
{1 ; 2 ; ... ; p - 1}
on a r
p-1
1 [p]
- Soit p un entier naturel premier. On note Ep l'ensemble {1 ; 2 ; .... ; p-1}.
a : Montrez que tout élément de Ep est premier avec p.
b : Montrez que pour tout a de Ep , il existe
b unique dans Ep tel que
ab 1 [p].
c : Déterminez les a éléments de Ep tels que a2
1 [p].
d : Montrez que 1*2*3...*( p-1) ( p -1 ) [p]
e : Déduisez-en que pour tout p entier naturel premier, ( p
-1)! + 1 est divisible par p.
Correction (Ce résultat ainsi que sa réciproque est le théorème
de Wilson)
- Montrez que si un entier naturel a exactement trois diviseurs dans N
alors cet entier est le carré d'un nombre premier.
Correction
- a: Montrez que pour tout couple d'entier relatifs (x
, y) , si x² + y² est divisible
par 7 alors x et y sont aussi divisibles par 7.
b:
Montrer que le seul triplet d'entiers naturels (x, y,
z) vérifiant x² + y² =
7z² est (0 , 0 , 0).
Correction
- p est un nombre premier > 2. On suppose qu'il existe a
et b dans N tels que
p = a² + b².
a: Déterminez les valeurs p < 100 possibles.
b: Montrez que pour tout x dans N, x² est
congru à 0 ou 1 modulo 4.
c: Montrez alors que p est congru à 1 modulo 4.
d: Peut-écrire 2003 comme somme de deux carrés dans N?
Correction
- p est un nombre premier. On note E l'ensemble {0 ; 1 ; 2 ; ...
; p - 1}et E* l'ensemble E privé de 0.
a: Montrez que pour tout a E*, il existe b
E* unique tel que ab 1 [p].
b: Montrez que pour tout (a , b) dans E², on a : ab
0 [p]  (a = 0 ou b = 0).
c: Montrez que pour tout X appartenant à E*, il existe au plus deux
éléments dans E* vérifiant x²
X [p]
d: Déterminez les x E* tels que x²
1 [p].
On pose p = 13.
f: Quelles sont les valeurs possibles X appartenant à E telles qu'il
existe x dans E
tel que x²
X [p]?
g: Déterminez l'ensembles de x dans Z vérifiant
l'équation x² + 2x + 3
0 [p].
h: Déterminez l'ensemble des x dans Z tels que x²
+ 5x - 6 soit divisible par 13.
Correction
- En reprenant l'exercice 8: , résolvez les équations suivantes:
a: x² + 5x
0 [ 5 ]
b: x - 5x + 2 0
[7]
c: 2x² + 4x + 1
0 [7]
d: (x² - 1)²
9 [11]
- Deux nombres premiers n et m sont dits "jumeaux"
si n + 2 = m.
Par exemple , les couples (11 , 13) , (17
, 19 ) , (41 , 43) sont des couples de nombres premiers jumeaux.
On considère
un entier n > 3.
- Montrez
que si (n , n + 2) est un couple de nombres premiers jumeaux alors n
doit être congru à 2 modulo 3, autrement dit, on doit avoir
, n 2
[3].
- Montrez que si (n , n +2) est un couple de nombres premiers
jumeaux alors n+ 4 ne peut pas être premier.
- Montrez
que (n , n +2) est un couple de nombres premiers jumeaux
si et
seulement si n² + 2n a exactement 4 diviseurs
dans N
Correction
-
Montrez que, pour tout b entier > 3 , le nombre x
= 1 + b + 2b2 + b3 + b4
n'est pas un nombre premier.
Correction
- Le but de cet exercice est de déterminer le nombre de 0 que comporte
n! à la fin de son écriture en base 10.
Par exemple, 5! = 120 et a donc 1 "0" à la fin de son écriture en base 10.
a:
Montrez que si la décomposition d'un entier a en facteurs premiers est:
alors a finit par exactement a2 ou a1
"0"
en base 10.
Soit n un entier > 0. On pose Q0
le quoitient de la division euclidienne de n par 5.
b:
Montrez
que : n! = 5Q0 . (Q0!).
K0 où K0 est un entier premier avec 5.
c:
On pose Q1 le quotient de la division euclidienne de Q0
par 5.
Montrez que n ! = 5Q0
+ Q1 . (Q1!)
.K1 où K1 est premier avec 5.
Expliquez
pourquoi le nombre de 0 de n en base 10 est Q0
+ Q1 + nombre de "0" de (Q1!)
d:
On définit alors la suite (Qk) par:
Q0
= quotient de la division euclidienne de n par 5 et pour tout k
> 0 ,
Qk+1
= quotient de la division euclidienne de Qk par
5.
Montrez qu'il existe un entier N tel
que pour tout k > N, Qk = 0 .
Montrez
que le nombre de 0 finnissant l'écriture de n! en base 10
est :
Q0 + Q1
+ Q2 + .... + QN
e: Application:
On
pose n = 100.
Calculez Q0
, Q1 et Q2.
Vérifez
que 100! finit avec 24 "0" en base 10.
f: En utilisant
la fonction Trunc ou Round de votre machine, déterminez le nombre
de zéros finissant l'écriture de (123456789!) en base 10.
(solution : 30 864 192)
Correction
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