Retour à l'exercice      Correction DIJON 1976

Partons de la relation bien connue!
 
 En particulier:

On vérifie que l'égalité demandée est vraie pour n = 1.
L'égalité précédente permet de conclure par récurrence.
On en déduit alors que



i: Si n =2k alors S_n = k²(2k+1)² et S_n+1 = (2k+1)²(k+1)² .
    k et k+1 sont premier entre eux (car ce sont deux entiers consécutifs). On a donc:
    S_n = U(2k+1)²  et S_n+1 = V(2k+1)² avec U et V premiers entre eux , d'où:
    PGCD(S_n , S_n+1 ) = PGCD[k²(2k+1)² , (2k+1)²(k+1)²] = (2k+1)² = D_2k  .
   On vérifie de la même façon que si n = 2k+1 alors PGCD(S_n , S_n+1 ) = (k+1)² = D_2k+1

ii: De l'expression obtenue de D_n dans la question i: , on en déduit que D_n est différent de 1 pour tout n > 1.
    De plus, si p divise S_n , S_n+1 et S_n+2  , alors p divise D_n et  D_n+1  
    car D_n = PGCD(S_n , S_n+1 ) et D_n+1 = PGCD(S_n+1 , S_n+2 ).
    Si  n = 2k alors  D_n = (2k+1)²  et D_n+1 = (k+1)² .
    (2k+1) et (k+1) sont premiers entre eux donc (2k+1)² et (k+1)² sont aussi premiers entre eux.
    Donc le seul diviseur de D_n et D_n+1 est p = 1 donc le diviseur possible de S_n , S_n+1 et S_n+2  est p = 1.

    De la même façon, on a si n = 2k+1:
    D_n = (k+1)²  et D_n+1  = (2k+3)².
    (k+1) et (2k+3) sont premiers entre eux donc PGCD(D_n , D_n+1 ) =1 .
    Donc le seul diviseur possible de S_n , S_n+1 et S_n+2  est p = 1.

    Conclusion:
    S_n , S_n+1 et S_n+2  sont premiers entre eux.