*Retour Accueil*                                   Arithmétique   Liste n°7-1: Années 70 (Voir Liste 7-2)

Exerice 1: Dijon 1976  Voir la correction
a) Montrer que pour tout entier naturel non nul n :
                
       Exprimer alors la somme
                                           
      en fonction de n.
b) Soit D_n le PGCD de S_n et S_n+1.
     i: Calculer D_n  lorsque n = 2k  , puis lorsque n = 2k + 1.
     ii: En déduire que, pour n > 1, D_n est différent de 1 et que trois termes consécutifs
         S_n ,  S_n+1   et   S_n+2   de la suite (S_n) sont premiers entre eux dans leur ensemble.

Exercice 2: Nancy 1976
On définit la suite de terme général (u_n)par :
u₀ N  , u₀  > 4  et  pour tout entier naturel n , u_n+1 = 2u_n   - 3.
1: Montrer que la suite (v_n) définie par : v_n = u_n - 3 : est une suite géométrique.
     En déduire l'expression de v_n en fonction de n puis celle de u_n en fonciton de n.
2: Déterminer les nombres entiers u₀  tels que, pour tout n, 3^Un soit le cube d'un entier naturel
3: On suppose u₀ = 4. Déterminer toutes les valeurs de n telles que 3^Un -1 soit un multiple de 11.

Exercice 3: Rennes 1976
1: Résoudre dans Z ² = ZxZ l'équation 143x - 100y  = 1.
2: Déterminer l'ensemble des entiers naturels p tels que 10^5p + 10^3p -2 0 [143]

Exercice 4: Antilles-Guyane 1976
Etudier les restes des divisions par 7 des puissances successives de 4, 5 et 6.
Déterminer les entiers naturels n pour lesquels 4ⁿ + 5ⁿ + 6ⁿ est divisible par 7.
Préciser les solutions comprises entre 105 et 125.

Exercice 5: Strasbourg 1978
Le nombre n désigne un entier naturel.
1: Démontrer que n² + 5n + 4 et n²+ 3n + 2  sont divisibles par n + 1.
2: Déterminer l'ensemble des valeurs de n pour lesquelles  3n² + 15n + 19 est divisible par n + 1 .
3: En déduire que, quel que soit n,  3n² + 15n + 19  n'est pas divisible par n²+ 3n + 2

Exercice 6:  Nancy-Metz 1980
1: Montrer que si m est un nombre entier tel que 0 < m < 7 alors 77-11m  n'est pas divisible par 7 .
    En déduire que 77 ne peut pas s'écrire sous la forme 11m + 7n  avec m, n entiers strictement positifs.
2: Soit x un entier. Montrer qu'il existe un entier m, vérifiant 0 < m < 7, tel que x - 11m  soit divisible par 7.
    En déduire que si x > 77, alors x peut s'écrire sous la forme 11m + 7n  avec m, n entiers strictement positifs.
3: On dispose de jetons de deux catégories auxquels on attribue respectivement les valeurs 7 et 11.
    Montrer que 59 est la plus grande valeur ne pouvant être réalisée à partir de tels jetons.
    On constatera que les valeurs réalisables sont les nombres de la forme 11m + 7n  avec m, n entiers positifs ou nuls.

Exercice 7: Reims 1982
1: Déterminer l'ensemble U des entires relatifs n tels que n + 2 divise 2n - 1.
2: Montrer que pour tout entier relatif, les nombres n + 2 et 2n² + 3n - 1 sont premiers entre eux.
3: Déterminer l'ensemble V des entiers relatifs n , n -2 tels que
                                                             
     soit un entier relatif.