*Retour Accueil*                                   Arithmétique   Liste n°7-2: Années 70 (Voir Liste 7-1 )

AIX EN PROVENCE 1970
Les entiers seront écrits ici en base dix.
En remarquant que 999 = 27 x 37, montrer que pour tout entier positif n 10³ⁿ    1 (mod 37).
En déduire le reste de la division par 37 du nombre 10¹⁰ + 10²⁰ +10³⁰

BORDEAUX 1970
N désignant un entier naturel non nul, on considère les entiers de la forme N⁴ + 4.
1° Décomposer, dans le corps des réels, le polynôme x⁴ + 4 en produit de deux facteurs du second degré.
    En déduire que 5 est le seul nombre premier de la forme N⁴ + 4.
2° Montrer que, si N n 'est pas un multiple de 5, N⁴ + 4 est un multiple de 5.

CLERMONT 1970
Déterminer tous les couples (a,b) d'entiers naturels tels que m + 11Δ = 203, m étant le PPCM et Δ le PGCD de a et b.

NANCY 1970
Déterminer les couples (x,y) d'entiers strictement positifs satisfaisant aux trois conditions suivantes :
a)      le plus grand commun diviseur de x et y est égal à 5 ;
b)      le plus petit commun multiple de x et y est égal à 720 ;
c)       il existe un nombre rationnel r tel que r² = x/y

ORLÉANS 1970
Déterminer n (n ÎN) tel que la fraction  soit réductible.
Déterminer n tel que cette fraction soit égale à un entier naturel.

TOULOUSE 1970
Écrire la liste des nombres premiers inférieurs à 50.
Le nombre 1 417 est-il premier ? Quels sont les entiers naturels a et b vérifiant la relation a² = b² + 1 517

RENNES 1970
a)      A tout entier naturel n [nÎ{0, 1, 2, …}] on fait correspondre le reste u_n de la division de 4ⁿ par 7.
         Montrer qu'il existe un entier a, strictement positif, tel que, quel que soit n,
          u_{n + a}  =  u_n             et         u_n+k  =  u_n                    si          0 < k < a.
b)      Reprendre la même question pour les restes v_n de la division de 5ⁿ par 7.
c)      Comment faut-il choisir l'entier naturel n pour que le nombre 5ⁿ-4ⁿ soit divisible par 7 ?

TOULOUSE 1970
Écrire, suivant les valeurs de l'entier naturel n, le reste de la division de 2ⁿ par 5.
En déduire le reste de la division de (2 917)⁵⁴¹ par 5

PONDICHÉRY 1970
1° On donne deux entiers naturels, a et b, premiers entre eux.
    Trouver un entier naturel, c, tel que chacun des entiers a, b et c divise le produit des deux autres.
2°  On donne deux entiers naturels, a et b, et d leur P.G.C.D.
     Trouver les entiers naturels, c, tels que chacun des entiers a, b et c divise le produit des deux autres.
     Application numérique :        a = 15, b = 12.

AIX-EN-PROVENCE 1970
Montrer (au moyen des congruences) que, si aucun des trois entiers a, b ou c n'est multiple de 3, a² + b² + c² est multiple de 3.

BORDEAUX 1970
Montrer que, pour n ³ 1, le nombre A = 3 x 5^2n-1 + 2^3n-2  est divisible par 17.
(On pourra, soit raisonner par récurrence, soit utiliser les congruences modulo 17.)

LIMOGES 1970
Démontrer que, quel que soit l'entier n, le nombre entier N = n²(n⁴-1) est divisible par 60.

LYON 1970
On rappelle que le nombre des parties d'un ensemble fini, E, ayant n éléments est 2ⁿ.
a)      En utilisant les congruences, étudier les restes possibles de la division par 5 d'une puissance de 2.
b)      On désigne par F l'ensemble des parties de l'ensemble E de n éléments et par G l'ensemble des parties de F.
         On écrit, dans le système à base 5, le nombre, m, des éléments de G.
         Quel est, suivant les valeurs de n, le chiffre des unités de m ?

MONTPELLIER 1970
Soit le nombre N =  n³ - 3n + 5. En utilisant la théorie des congruences, déterminer
1° la forme générale des entiers relatifs n tels que l'on ait N º 0 (mod 7);
2° la forme générale des entiers relatifs n tels que l'on ait N º 1 (mod 7).

ORLÉANS 1970
Déterminer le nombre entier du système décimal qui s'écrit abca, dans le système à base onze,
et    bbac, dans le système à base sept.

PARIS 1970
Considérons la fraction , où n est un entier relatif différent de -1.
Pour quelles valeurs de n la fraction est-elle équivalente à un entier relatif ? Pour quelles valeurs de n est-elle irréductible ?

POITIERS 1970
Trouver les entiers naturels compris entre 100 et 200, divisibles par 9, et qui dans le système de numération de base 6 s'écrivent x3y.

RENNES 1970
1° Quel est l'ensemble des diviseurs du nombre 72 ?
2° Soit p un nombre entier naturel ; mettre le nombre entier relatif p² - 6p - 63 sous la forme d'une différence de deux entiers naturels,
    l'un d'eux étant un carré parfait, l'autre ne dépendant pas de p.
    En déduire tous les couples (p, q) d'entiers naturels, solutions de l'équation p² - 6p - 63 = q²

ROUEN 1970
Étudier les restes des divisions par 5 des puissances de 7 : 7¹, 7², 7³, 7⁴,  ... , 7^p,..... (pÎN, p >0).
Quel est le reste de la division par 5 de 7⁴⁵ ?
Montrer que 16 x 7²ⁿ - 28 x 3²ⁿ⁺³ est divisible par 5 quel que soit l'entier naturel n.

STRASBOURG 1970
Comment faut-il choisir l'entier naturel n (nÎN) pour que 2ⁿ - 1 soit divisible par 9 ?
À quelle condition relative aux entiers naturels x et y la division par 9 de 2^x11^y donne-t-elle 1 pour reste ?

STRASBOURG 1970
Démontrer, soit par récurrence sur n, soit par la méthode des congruences, que N = n(2n + 1)(7n + 1) est divisible par 6,
quel que soit l'entier n, supérieur ou égal à 1.

TOULOUSE 1970
En utilisant le théorie des congruences, déterminer l'ensemble des entiers naturels n tels que (n³ - 3n² - 2) soit un multiple de 7.