2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; 41 ; 43 ; 47 ; ....

Proprièté 1:
Il existe une infinité de nombres premiers. Par la suite, on notera P l'ensemble des
nombres premiers et on notera p_i le i^eme nombre premier.
Démonstration:
Supposons que qu'il existe un nombre fini n de nombres premiers p₁ , p₂ , .... , p_n.
Si N = p_1.p₂ ....p_n + 1 n'est divisible par aucun des n premiers nombres premiers.
alors,
- soit il est lui même premier, et supérieur à tous les n premiers nombres premiers
- soit il est divisible par un entier A.
Dans ce dernier cas, appelons p le plus petit de ses diviseurs, 1 étant exclu.
- p est premier, car sinon p ne serait pas le plus petit des diviseurs de N.
- p n'est pas dans la liste p₁ , p₂ , .... , p_n. Il est donc supérieur à tous les p₁ , p₂ , .... , p_n.
Dans tous les cas, on arrive à une contradiction est donc l'ensemble des nombres premiers est bien infini.

On peut remarquer que la défintion d'un nombre premier dans N peut aussi s'énoncer
de la façon suivante:
- p est premier si et seulement si pour tout couple (a , b) de N, on a :

Propriété 2:DECOMPOSITION EN FACTEURS PREMIERS
Pour tout entier naturel n, il existe une suite unique (a₁ , a₂ , a₃ , ... ,a_k , .... ) d'entiers
contenant un nombre fini de termes non nuls telle que:

C'est la décomposition en facteurs premiers de n.
Ceci se vérifie sans peine par récurrence sur n.
La propriété est évidente pour n = 2 car la seul manière d'écrire 2 est : 2 = 2  !!!.
De plus, n est premier, il n'y a rien à démontrer!
Soit n un entier naturel tel que tout entier strictement inférieur à n possède une décomposition unique
en facteur premiers et soit p le plus petit diviseur > 1, de n. Alors p est premier car sinon il possède un
diviseur plus petit que lui qui divise aussi n.
Si on pose N₁ tel que n = N₁.p ,   N₁ est strictement inférieur à n. Il possède une décomposition en
facteurs premiers unique, par hypothèse de récurrence.
Comme p est unique, on obtient une décomposition unique de n en facteurs premiers.

Une remarque tout de même!
Si l'existence d'une décomposition en facteurs premiers d'un entier n ne pose pas de difficultés,
son unicité repose entièrement sur le fait que si deux entiers naturels sont divisibles l'un par l'autre,
alors ils sont égaux.
Dans le cas de deux entiers relatifs (dans Z), ils sont égaux au facteur 1 ou -1 près
qui sont les seuls éléments inversibles de Z.

Première Remarque:
Il ne faut pas croire que l'unicité de la décomposition en facteurs premiers est
évidente dans un ensemble possédant des propriétés analogues à Z.
Prenons par exemple l'ensemble des nombres complexes suivant:
.
Cet ensemble peut être muni d'une addition et d'une multiplication qui ne sont que
les restrictions de l'addition et de la multiplication définies sur l'ensemble
des nombres complexes.
On peut définir une "valeur absolue" sur cet ensemble en posant:

qui vérifie |X . Y| = |X|.|Y|  et  |X| = 0 si et seulement si X = 0.
On alors peut démontrer que les seuls éléments inversibles dans cet ensemble sont
1 et -1 et on définit les nombres premiers p sur celui-ci comme étant les éléments
n'admettant comme diviseurs, au facteur 1 ou -1 près, que 1 et p.
2 et 3 sont premiers dans cet ensemble. Et pourtant, on a:
.

Deuxième Remarque:
Le fait d'être premier est une propriété d'un nombre relatif à un ensemble donné.
5 est premier dans N ou dans Z.
L'extention des entiers relatifs à l'ensemble des complexes est l'ensemble des
nombres complexes de la forme a + ib, où a et b sont des entiers relatifs quelconques.
C'est l'ensemble des ENTIERS DE GAUSS que l'on note Z[i].

on peut dire que  5 n'est pas un nombre premier dans Z[i].

^{Conséquences de la décomposition en facteurs premiers:}

Si un nombre premier p est diviseur du produit de deux entiers ab
   alors p est   diviseur d'au moins un de ces deux entiers.
   Une généralisation de ce résultat est   le Théorème de Gauss .
Si b est divisible par a alors tout nombre premier divisant a est un diviseur de b.
Si a admet pour décomposition en facteurs premiers:

alors l'ensemble des diviseurs de a est l'ensemble des entiers n admettant une   décomposition de la forme:

Le nombre de diviseurs naturels d'un entier naturel a est :
 

Un entier n est un carré ( c.a.d il existe a entier tel que a² = n ) si et seulement si les exposants des p_i dans sa décomposition en facteurs premiers sont pairs, ou divisibles par 2 , ou congrus à 0 modulo 2.
D'une façon plus générale, un entier n est une puissance k^éme (c.a.d  il existe a entier tel que a^k = n ) si et seulement si dans les exposants des p_i dans sa décomposition en facteurs  sont des multiples de k , ou congrus à 0 modulo k, ou divisibles par k.

Propriété 3: Critére de primarité
Un entier naturel p est premier si et seulement si
pour tout entier n compris entre 2 et ,     p n'est pas divisible par n.
Cela se voit en écrivant que, si ab = p avec a et b entiers naturels, alors au moins un de ces entiers est inférieurs à .
Exemples:
 
Pour savoir si 1991 est premier, il suffit alors de tester sa divisibilité par les entiers compris entre 2 et 44, et même simplement pour les nombres premiers compris entre 2 et 44.
- 1991 = 2*995 + 1
- 1991 = 3*663 + 2
- 1991 = 5*398 + 1
- 1991 = 7*284 + 3
- 1991 = 11*181 , donc 1991 n'est pas premier.

On teste alors la primarité de 1993 sur les nombres premiers compris entre 2 et 44.
- 1993 = 2*996 + 1
- 1993 = 3*664 + 1
- 1993 = 5*398 + 3
- 1993 = 7*284 + 5
  etc...
Et on constate alors que 1993 est premier.

Crible d'Erastosthène
Le crible d'Erastosthène consiste à écrire la liste des entiers positifs 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ...
puis à rayer les multiples de 2. Une fois cela fait, le premier entier non-rayé est nécessairement premier. On raye les multiples de cet entier. Le premier entier non rayé est lui même premier , ... etc....
Dans le liste suivante, on a écrit les nombres de 2 à 145.
On marque alors les multiples de 2 en rouge. Le premier nombre non marqué est 3 donc 3 est un nombre premier. On marque alors les multiples de 3, non marqués en rouge, en bleu. Le premier nombre non marqué est 5, donc 5 est premier.
On marque alors en jaune les multiples de 5 non encore marqués.
Le premier nombre non marqué est 7, donc 7 est premier, on marque alors en vert les multiples de 7 non encore marqués.
11 est alors premier, on marque les multiples de 11 non encore marqués en gris.
On arrive alors à 13 qui est premier.
Comme 13*13 est > 145, tous les nombres non-marqués de cette liste sont alors premiers.

2  , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 67 , 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 , 109 , 113 , 127 , 131 , 137 , 137 , 139 est alors la liste des nombres premiers inférieurs à 145.

Raréfaction-Répartition des Nombres Premiers
On sait que l'ensemble des nombres premiers est infini et que l'on peut alors ordonner les nombres premiers en une suite (p_i) strictement croissante.
Savoir comment se répartissent les nombres premiers dans l'ensemble de tous les entiers est une question non résolue, dans le sens que l'on ne sait pas, pour deux entiers quelconques n et m, dire s'il existe ou non des nombres premiers compris entre n et m, et encore moins combien il y en a.
Tout au plus, a-t-on des résulats de loi générale de Raréfaction, le premier d'entre eux étant du à Hadamard.
Ce resultat dit , en gros, que pour n entier positif, si on  note P(n) le nombre de nombres premiers inférieurs à n, alors
Résultat 1:

(Il ne s'agit ici de donner une démonstration d'un tel résultat mais seulement de voir que les premiers calculs sur les nombres premiers le confirment! Ce résultat ne permet nullement de connaitre le n-ème nombre premier.)
On peut observer ce résulat avec la table suivante:

Il faut bien voir que ce résultat montre le comportement "limite"
ou "d'ordre de grandeur" du nombre de nombres premiers inférieurs à n.

Une conséquence possible de ce résultat est une estimation de la valeur du N-ième nombre premier.
Pour x réel > 2 , le nombre de nombres premiers inférieurs  p(x) est "estimé" par :

On peut alors écrire, sans trop s'occuper des justifications qui ne sont pas dans notre cadre,

Si x est très grand, ln(ln(x)) est petit par rapport à ln(x).


Ou encore

Ce style de résultats permet de voir que les nombres premiers se "raréfient" dans N.

Toutes ces formules, et bien d'autres qui affinent ces résultats, ne permettant en rien de savoir si un nombre donné est premier ou pas et encore moins de savoir s'il y a des nombres premiers entre deux entiers fixés.
Il s'agit bien de résultats "asymptotiques".
Qui plus est, la répartition des nombres premiers peut présenter des "trous" aussi grand que l'on veut, à savoir, qu'il existe des intervalles d'entiers aussi grands que l'on veut ne contenant aucun nombre premier.
C'est le résultat suivant qui est tout à fait démontrable en Terminale S.

Résultat 2:
Pour tout entier n > 0 , il existe au moins une suite de n entiers naturels
consécutifs ne contenant aucun nombre premier.
Explication
Considérons un entier naturel n  et un nombre premier p > n.
p existe car il y a une infinité de nombres premiers.
Si k est un entier {2 , 3 , 4 , ... , n + 1}, le nombre

où les p_i sont les nombres premiers inférieurs ou égaux à p,
est divisible par au moins un nombre premier <  p sans être égal à un nombre premier.
N est donc non-premier.
En faisant varier k de 2 à n + 1, on obtient bien une suite de n entiers consécutifs ne contenant aucun nombre premier.

Par exemple, il existe une suite de 1 000 000 d'entiers consécutifs ne contenant aucun
nombre premier.
Si on note, pour x > 1 , (x)! = produit des nombres premiers < x , ( à ne pas confondre avec x! qui le produit des entiers < x) , on a alors:

(2)!  = 2
(3)!  = 6
(4)!  = 6
(5)!  = 30
(6)!  = 30
(10)! = 2*3*5*7 = 210
(20)! = 2*3*5*7*11*13*17*19 = 9 699 690

La suite 2 + (20)! , 3 + (20)! , 4 + (20)! , ... , 21 + (20)! ,  est alors une suite de 20 entiers consécutifs ne contenant aucun nombre premier.

On peut intépréter ce résultat en disant qu'il existe des nombres premiers p et p' tels qu'il n'existe aucun nombre premier entre p et p' et tels que l'écart entre p et p' soit aussi grand que l'on veut.

Concernant la répartition des nombres premiers, on peut aussi signaler un résultat du à Dirichlet sur la répartition des nombres premiers modulo n.

Résultat 3:
Si n et a sont des entiers naturels premiers entre eux,
Alors il existe une infinité de nombres premiers congrus à a modulo n.
Ou encore
Il existe une infinité de nombres premiers de la forme (a + k.n), où k est un entier naturel.
Par exemple, il existe une infinité de nombres premiers de la forme (3 + 4k).