Méthode des Trapèzes

La méthode d'approximation d'une intégrale dite "des Trapèzes" repose sur le calcul de l'aire d'un trapèze.
Si f est une fonction affine sur IR, donc du type :" f(x) = Ax + B" , pour tout couple (a;b) de réels, on a:

f(x)dx = [A + Bx = (b - a)x ,

comme le montre une calcul sans difficulté.
Cette formule d'intégration est evidemment à rapprocher du calcul de l'aire d'un trapèze si on interpréte, dans le cas où f est > 0 sur [a ; b], l'intégrale de f comme l'aire du trapéze que définissent

  • la courbe de f,
  • l'axe des abscisses et
  • les deux droites d'équations "x = a" et "x = b".

Pour une fonction f quelconque, mais admettant des primitives sur un intevalle I, on est conduit alors à poser l'approximation :

f(x)dx ~ (b - a)x

qui signifie rien d'autre que l'on approxime f entre a et b avec la fonction affine qui coïncide avec f en a et en b.

Pour des raisons de commodités, nous supposerons que a < b.

Considérons alors une subdivision de l'intervalle [a;b] de pas h.
Rappelons qu'une subdivision de pas h est définie par l'entier n tel que:
h = et par la suite des réels
" a , a + h , a + 2h , ..., a + k.h , ..., a + n.h = b ".

Sur chaque intervalle [ a + k.h ; a + (k+1).h], où k est un entier compris entre 0 et (n-1), l'intégrale de f sur intervalle peut être approximée par :

~ h.

En utilisant la relation de Chasles pour l'intégrale f(x)dx, on écrit alors:

+ ...+
f(x)dx=

 

D'où, en utilisant l'approximation de chacunes des intégrales de cette somme, on obtient la formule d'approximation par la méthodes des Trapèzes:


C'est, biensur, une formule exacte si f est une fonction affine.
On peut d'alleurs démontrer, que:

Si f est deux fois dérivable sur [a;b],
si pour tout x [a;b], |f " (x)| < M ,
où M est une constante réelle,
alors l'erreur faite par la méthode des
trapèzes dans le calcul de l'intégrale
de f est majorée par : M.

 

 

 

 

 

 

 

 

 


La figure ci-dessous montre la courbe de f et l'approximation faite de cette courbe par la droite passant par les points A et B d'abscisse respective a et b.

 

Prenons comme exemple,

et comme pas pour la subdivision h=0,25, c'est à dire n = 4.

L'approximation par la méthode des trapèzes est :

Valeur-approchée = 0,34375

On peut la comparer avec la valeur exacte de l'intégrale qui est .

Pour h = 0,1 , c'est à dire n = 10,
on obtient la valeur approchée:

Valeur-approchée = 0,335.

On peut, biensur, programmer un tel calcul.
Un algorithme possible est :

  1. Donner a et b
  2. Donner n
  3. Calculer h
  4. Poser k = 0
  5. Poser x = a
  6. Poser y = a + h / 2
  7. Poser S = 0
  8. Poser k = 0
  9. S + [f(x) + f(y)] => S
  10. y => x
  11. y+h => y
  12. k + 1 => k
  13. Si k < n alors aller en 9
  14. S*h / 2 => Résultat