Calculs Approchés d'Intégrales

La première idée qui peut venir à l'esprit pour avoir une valeur approchée de l'intégrale :

f(x)dx

est d'approximer f par une fonction élèmentaire facilement intégrable.
Les fonctions les plus simples à intégrer sont les fonctions polynômes.
Et parmi les fonctions polynômes, les fonctions les plus simples sont, biensur, les fonctions constantes.
On obtient la méthode d'approximation dite "des rectangles".

Viennent ensuite les fonctions affines, de la forme (Ax + B).
On obtient alors la méthode d'approximation dite "des trapézes", qui est une formule exacte si f est une fonction polynôme de degré inférieure ou égale à 1.

Puis, on peut utiliser les fonctions polynômes du second degré,
de la forme (Ax² + Bx + C).
On obtient alors la méthode d'approximation dite de "Simpson".
C'est cette méthode qui est utilisée sur les machines à calculer type T.I ou Casio pour donner une valeur approchée d'un intégrale. Elle présente l'avantage d'être assez précise, rapide et surtout, d'être une méthode qui fournit la valeur exacte de l'intégrale si f est une fonction polynôme de degré inférieure ou égale à 3, ce qui est une chance!!

Méthode des Rectangles:
Cette méthode est peu employée, si ce n'est qu'à titre explicative pour introduire les méthodes suivantes.
Supposons que f varie très peu sur l'intervalle [a;b]. Pour une valeur x de cet intervalle on peut alors considèrer que f(x) est assez proche de f(a).
Donc, on peut considèrer que l'intégrale f(x)dx est
assez proche de (b - a).f(a).

f(x)dx ~ (b - a).f(a)

En utilisant une subdivion de pas h,
"a , a + h , a + 2h , ..., a + k.h , ..., a + n.h = b ",
et en utilisant la relation de Chasles, on peut écrire que:

+ ...+
f(x)dx=

Chacune des intégrales peut être approximée par :

h.f(a + k.h).

On obtient alors une formule d'approximation de l'intégrale f(x)dx:

On peut tout aussi bien aussi approximer f(x) par f(b) et écrire que
f(x)dx ~ (b - a)f(b).
Dans la décomposition par la relation de Chasles de l'intégrale f(x)dx en utilisant la subdivsion de pas h, chacune des intégrales sera alors approximée par hf(a + (k+1)h).

~ hf(a + (k+1)h)

On obtient une autre formule d'approximation de l'intégrale f(x)dx.

Comme cas particulier, remarquons que si f est croissante sur [a;b], alors:

h.f(a+k.h) £ £ h.f(a+(k+1).h)

d'où l'encadrement

£f(x)dx £

Evidemment, pour une fonction décroissante, l'encadrement est "inversé".

Remarquons aussi que l'erreur, dans le cas d'une fonction croissante (ou décroissante) commise en uitlisant l'encadrement précédent peut être estimé.

On a un encadrement du type A £ f(x)dx £ B. Donc, l'erreur commise est inférieure à (B - A) qui est alors égal à : h[f(b) - f(a)].
C'est donc une formule d'approximation de l'intégrale dont la précision est de l'ordre de .

C'est donc une méthode peu précise!

Comme exemple "fil rouge", nous prendrons la fonction () sur l'intervalle [1;2].
On sait que l'intégrale de cette fonction sur cet intervalle n'est autre que ln(2).

En prenant une subdivision de pas h, on décompose l'aire que définit cette courbe en rectangle.

Les rectangles "coloriés" sont situés en-dessous de la courbe, et les rectangles "coloriés et grisés" sont situés au-dessus de la courbe.

Dans l'exemple de la figure, la subdivision correspond à n=5, donc h=0,2.

L'aire totale des rectangles situés en-dessous de la courbe est:

h(f(1,2)+f(1,4)+f(1,6)+ f(1,8)+f(2))
ce qui donne:

Aire1 = ~ 0,64 à 0,01 par défaut

L'aire totale des rectangles situés au-dessus de la courbe est:

h(f(1)+f(1,2)+f(1,4)+f(1,6)+f(1,8))
ce qui donne :

Aire2 = ~ 0,75 à 0,01 près par excès

L'aire que définit la courbe est donc comprise entre ces deux valeurs.

On a alors : 0,64 £ ln(2) £0,75.

Prenons un autre exemple:

On veut estimer .

La fonction (x²) est croissante sur [0;1].
Si on prend une subdivision en 10 intervalles, on a: h=0,1.

Sur la figure ci-dessous, on voit la courbe de (x²) et les dix rectangles "inférieurs" correspondant à cette subdivision.

Le calcul des aires des rectangles donnent :

Aire1 = = 0,285

Si on prend maintenant les rectangles "supérieurs",

l'aire des rectangles est alors:

Aire2 = = 0,385

On obtient alors l'encadrement:

0,285££0,385.
Comme sait que cette intégrale est égale à . On peut constater le peu de précision de la méthode!