METHODE DE SIMPSON

f est une fonction définie sur un intervalle I et admettant sur I des primitives. Donc, pour tout couple ( a , b ) de I, l'intégrale est définie.

Principe de la Méthode de Simpson:

La méthode de SIMPSON repose sur le principe de l'interpolation de la fonction f entre a et b par une fonction polynôme de degré 2 sur les valeurs a , b et . Plus précisemment, on cherche un polynôme P de dégré inférieur ou égal à 2 tel que:

f( a ) = P( a )

f( b ) = P( b )

On cherche donc une fonction polynôme P de degré au plus 2 dont la courbe (une parabole) passe par les points de coordonnées ( a ;f( a )) , ( b ,f( b )) et ( ,f( ))

C'est le principe de l'interpolation de Newton, qui est un cas particulier de l'interpolation de Lagrange.

Puis, on cherche une formule d'intégration exacte pour tout polynôme Q de degré au plus 2 qui ne dépende que de a , b et .

On détermine pour cela, trois réels A, B et C tels que pour tout polynôme Q de degré au plus 2, et pour tout couple de réels ( a ; b ) on ait:

Grâce à la linéarité de l'intégrale, il suffit de chercher A, B et C tels que la formule précédente soit vraie pour les polynômes (1) , ( x ) et ( x ²).

On écrit un système d'équation dont la solution (A,B,C) est :

, ,

La formule d'intégration exacte pour tout polynôme Q de degré au plus 2 est donc:

, en posant

Cette formule présente en plus un avantage. Elle est exacte pour tout polynôme de degre au plus 2, par construction, mais , en plus, il se trouve qu'elle est aussi exacte pour polynôme de degré 3. Pour le voir, il suffit de le vérifier sur ( ).

On a donc une formule valable pour tout polynôme de degré au plus 3.

La formule de Simpson consiste alors à interpoler cette formule pour la fonction f et considérer qu'une valeur approchée de l'intégrale de f est:

Formule simple de Simpson:

, avec

Prenons deux exemples:

Considérons l'intégrale : . On a donc : , a = 0 , et b = 1.

Une valeur approchée de cette intégrale est alors :

=

On peut obtenir la valeur exacte de l'intégrale. C'est : = 0,778539816.....

On constate que = 0,78333333.....

La valeur approchée obtenue est assez précise.

Considérons maintenant l'intégrale . On sait que cette intégrale est ln(2).

On a ici : , a = 1 , b = 2 , .

Un valeur approchée de cette intégrale est donc :

= .

Comme = 0,6944444..... et que l'on sait que ln(2) = 0,693147....., on constate encore une fois la bonne valeur approchée obtenue.

Cette méthode peut, biensur, être améliorée en utilisant une subdivision de pas , où n est un entier > 0.

En posant , , , ....., , , et en utilisant la relation de Chasles, on écrit alors que:

+ ...+

Chacune des n intégrales peut s'approximer en utilisant la formule de Simpson:

D'où, en sommant, on obtient la formule générale d'approximation:

Formule Générale de Simpson, pour une subdivsion en n intervalles:

C'est la formule qui est utilisée sur la plupart des machines à calculer (Casio ou T.I) pour le calcul approché d'une intégrale.

Erreur d'approximation:

On peut démontrer que si f est 4 fois dérivable sur [ a ; b ] et si pour tout x dans [ a ; b ], la dérivée d'ordre 4 vérifie est majorée, en valeur absolue, par M , où M est une constante réelle, alors l'erreur commise en approxiamant l'intégrale par la formule de Simpson en prenant une subdivision de pas h est majorée par :

Par exemple, considérons l'intégrale : .

On sait cette intégrale est égale à sin(1).

Comme f( x ) =cos( x ) , la dérivée d'ordre 4 de f est (cos( x )) donc, sans chercher bien loin, majorée par 1.

En prenant une subdivision en 4 intervalles, donc, avec un pas h = 0,25 , on voit que l'approximation faite par la formule de Simpson dans ce cas, donne la valeur de l'intégrale avec une erreur inférieure à 0,000041.

L'intégrale s'approxime alors par :

ce qui fournit la valeur approchée : 0,8414721284.....

On peut la comparer avec une valeur "machine" de sin(1) qui est : sin(1)=0,8414709848.....