PRIMITIVE D'UNE FONCTION

Défintion Primitive - Conditions Initiales - Interprétation Graphique- Aire et Primitive

Tableau des primitives usuelles - Exemples de recherches de primitives

Si f est une fonction continue sur un intervalle I, alors il existe au moins une fonction F dérivable sur I telle que f soit la dérivée de F sur I.

On dit alors que F est une primitive de f sur I

Définition Générale:
F est une primitive de f sur I si et seulement si F est dérivable sur I
et si pour tout x dans I, F '(x) = f (x).

Par exemple, si f est définie que IR par: f(x) = 2x,
on remarque que la fonction F définie sur IR par F(x) = x²
admet pour dérivée f.
F est une primitive de f sur IR.

Autre exemple, si f est définie par f(x)=2x+1, alors la fontion F définie par F(x)=x²+x+1 est une primitive de f sur IR car la dérivée de F est f sur IR

On remarque que si F est une primitive de f sur I, alors pour toute constante k, la fonction G définie par G (x) = F (x) + k est aussi une primitive de f sur I car la dérivée d'une constante est la fonction nulle.
On en déduit alors la propriété suivante:

Propriété 1: Ensemble des primitives de f:
Si f admet une primitive F sur I alors l'ensemble des primitives de f sur I est l'ensemble des fonctions G dérivables sur I telles qu'il existe une constante k pour laquelle : G(x) = F (x) + k

Si f est définie sur IR par :
f(x) = 2x - 1
alors la fonction F définie sur IR par
F(x) = x² - x
est une primitive de f sur IR.
Donc les primitives de f sur IR sont les fonctions de la forme :
G(x) = x² - x + k , k constante réelle

Si f admet une primitive sur I alors elle en admet une infinité.
Mais, si xo appartient à I et si yo est une réel quelconque, alors :

Propriété 2: Condition Intiale :
Il existe une et une seule primitive F de f sur I telle que F(xo) = yo.

On dit F est la primitive de f sur I vérifiant la condition initiale:

F(xo) = yo

On peut formuler cette propriété en disant aussi que:

Le problème " Trouver une fonction F dérivable sur I telle que F(xo)=yo et telle que F soit une primitive de f sur I" admet au plus une solution.

Graphiquement, cela peut s'interpréter en disant que la courbe d'une primitive dans un repère ( )quelconque de f sur I s'obtient par translation d'un vecteur colinéaire à à partir de la courbe d'une primitive connue de f.

Si f(x) = 2x - 3 , alors les primitives F de f sur IR sont les fonctions de la forme:
F(x) = x² - 3x + k ,
où k est une constante réelle.

Si on cherche la primitive de f vérifiant la condition initiale:
F(1) = 1,
on cherche alors la constante k telle que
F(1) = 1² - 3 + k = 1.

D'où la valeur pour k : k = 3.
La primitive de f vérifiant la condition intiale F(1)=1 est donc:
F(x) = x² - 3x + 3

Si f est une fonction admettant des primitives sur l'intervalle I=[a ; b], et telle pour tout x dans I , f(x) soit 0 , on peut définir la partie A du plan contenant les points M dont les corrdonnnées (x ; y) vérifient :

a x b
0 y f(x)

La figure ci-contre montre la partie A.

L'aire de A, en unités d'aire est alors donnée par :

Propriété 3: Aire et Primitive
Aire de A = F(b) , où F est la primitive de f sur I qui s'annule en a.

Par exemple, prenons f(x) = x, I=[1;3].
A est un trapèze dont l'aire est, en unités d'aire:

Aire de A = = 4.

Si F est la primitive de f qui s'annule en 1, on a : F(x) = et on a bien F(3) = 4.

En utilisant la notation

INTEGRALE

on peut aussi dire que l'aire de A est, en unité d'aire :

Aire de A=f(x)dx

On peut aussi remarquer que

xdx= = 4

PRIMITIVES USUELLES à connaitre

Fonction f	Intervalle de définition	Fonction primitive de f à une constante près
f(x) = 0	I = IR	F(x) = constante
f(x) = 1	I = IR	F(x) = x
f(x) = x	I = IR	F(x) =
f(x) = x²	I = IR	F(x) =
D'une façon plus générale, si n est un entier positif alors pour f(x) = xⁿ	I = IR	F(x) =
Si n est un entier > 1, alors pour f(x) =	I = ]0;+[ ou I = ]-;0[	F(x) =
Pour a réel quelconque différent de 1 f(x) = x^a	I = ]0;+[	F(x) =
f(x) =	I=]0;+[	F(x) = ln(x)
f(x) =	I = ]-;0[	F(x) = ln(\|x\|)
f(x) = cos(x)	I = IR	F(x) = sin(x)
f(x) = sin(x)	I = IR	F(x) = -cos(x)