Soit f une fonction définie sur un intervalle I et admettant des primitives sur I.
Soit a dans I.
Par définition, on note 
f(t)dt
la primitive de f qui s'annule en a.
Cette fonction F(x) = f(t)dt
est donc, par défintion, la seule fonction
dérivable sur I telle F ' = f et F(a) = 0.
 f(t)dt
se lit : |
ou
|
On fera attention à bien lire la notation!
Le "dt" indique par rapport à quelle variable
on cherche une primitive de f, ou encore quelle est la variable d'intégration.
Calculer une intégrale ou chercher une primitive d'une fonction
ou déterminer la dérivée d'une fonction n'a de sens
que si la variable est définie.
Pour la fonction suivante f(x , y) = xsin(y), si
on demande de calculer sa dérivée par rapport à x,
on obtient:
f'x(x,y) = sin(y)
Si on cherche une primitive de f par rapport à y, on obtient:
Fy(x,y) = -x.cos(y)
On rappelle que si f est une fonction définie sur un intervalle I et admettant des primitives sur I, par exemple, si f est continue ou dérivable sur I , alors l'ensemble des primitives de f sur I est l'ensemble des fonctions de la forme :
F(x) + k ,
où Fest une primitive quelconque de f sur I et k est une constante réelle.
Pour tout xo dans I et tout yo réel, il existe alors une et une seule primitive F de f sur I vérifiant la condition initiale : F(xo) = yo .
Pourquoi cette notation?
On connait le lien entre
calcul d'aire et primitive.
Pour une fonction f dont la courbe est indiquée ci-dessous, on
peut estimer l'aire qu'elle définit en décomposant l'intervalle
[a;b] en sous-intervalles de longueur dx. La partie
du plan correspondant à cet intervalle à une aire proche
de f(x)dx, où x est une valeur de cet intervalle.
L'aire totale est alors proche de
S f(x)dx , où
x va de a à b.
Si on fait tendre dx vers 0, le nombre d'intervalles tend vers
+oo, et la somme totale des aires des rectangles tend vers l'aire
de A.
Le symbole S
s'écrit alors 
, qui n'est qu'un "S" étendu.
Cette définition de l'Intégrale est très restrictive
mais suffit dans presque tous les cas de fonctions rencontrées
en Terminale, qui sont en générale des fonctions continues
sur des réunions d'intervalles.
Par
exemple, l'intégrale :xdt
est égale à x(x-a)
car une primitive de (x) si t est la variable est :
F(t) = x.t
La primitive qui s'annule en a est
:
F(t) = x.t -x.a et xdt
= F(x) = x.(x-a)
Dériver une fonction,c'est "diviser"
df(x) par dx.
Intégrer une fonction, c'est "multiplier" par dx.
Par extention, si F est une primitive quelconque de f sur I, alors la
fonction définie par : (F(x) - F(a)) est bien la
primitive de f qui s'annule en a.
Pour a et b quelconques dans I, on peut alors écrire
que:
f(x)dx = Valeur en b de la primitive qui s'annule
en a
ou encore:
f(x)dx
= F(b) - F(a)
où F est une primitive quelconque de f sur I.
C'est la défintion de l'intégrale de f de a à b.
Définition:
On appelle INTEGRALE de f
de a à b, le nombre
F(b) - F(a)
où F est une primitive quelconque de f sur I.
Ce nombre est biensur, indépendant du choix de la primitive F de f.
Il correspond à f(x)dx
Effectivement, si F est une primitive quelconque
de f sur I, alors la fonction G définie sur I par:
G(x) = F(x) - F(a)
est bien une primitive de f sur I et G(a) = 0.
On utilise alors la notation:
Par exemple ,
(2x - 1)dx =[x²
- x
= F(3) - F(1) = 6
=
=
= 
=
= 
Propriétés
de Linéarité:
Si f et g sont deux fonctions définies sur l'intervalle I et admettant
sur I des primitives, alors la fonction (f+g) admet aussi des primitives
sur I et pour tout a et tout b de I, on a :
(f(x)
+ g(x))dx = f(x)dx
+ g(x)dx
De plus, si a est un réel
quelconque alors la fonction
(af(x)) admet des primitives sur I et
:
af(x)dx = a
f(x)dx
On résume ces deux propriétés en disant:
Propriété 1:
Pour tout a et b réels, on a :
(af(x)
+ bg(x))dx = af(x)dx
+ bg(x)dx
La propriété de linéarité de l'intégrale résulte directement de la formule de dérivation de la somme de deux fonctions:
(U + V) ' = U ' + V '
Mais Attention!!
L 'intégrale d'un produit de fonctions (f.g) n'est pas égale
au produit des intégrales de f et de g.
Pour calculer l'intégrale
d'un produit de fonctions, on utilise, si possible, une intégration
par parties
Si F est une primitive de f sur I alors pour a ,b et c dans I, on a : F(b) - F(a) = {F(c) - F(a)} + {F(b) - F(c)}.
Ceci donne, appliqué aux intégrales :
la Relation de Chasles:
f(x)dx
= 
f(x)dx
+ 
f(x)dx
Pour interpréter graphiquement la relation de Chasles
| observez la figure !! |
 |
Pour  on
a |
 |
En prenant a = b dans la relation de Chasles, on obtient:
f(x)dx = 
f(x)dx
Exemple d'utilisation de la relation Chasles:
Si on veut calculer directement ,
il faut remarquer que |x| = x si x est 
0,
et |x| = -x si x est 
0.
L'intégrale peut alors s'écrire, d'après la relation
de Chasles:
=
+
Comme |x| = -x sur [-1;0]
et qu'une primitive de (-x) est (
),
on en déduit que
:= 
.
De même , on a :=
Donc, =
+ =
1
Si f admet des primitives sur l'intervalle
I, et si a et b sont deux réels dans I tels que ab,
alors :
Propriété 2:
Si pour tout x dans [a;b], on a f(x)
0 ,
alors f(x)dx
0.
Conséquences directes:
Si f et g admettent des primitives sur I et si f(x)g(x)
pour tout x dans [a;b] alors:
-
f(x)dx
g(x)dx
- |f(x)|dx
| f(x)dx
|-|f(x)|dx
- Inégalité de la moyenne:
Si m et M sont réels et si pour tout x dans [a;b],
mf(x)
M , alors
m(b-a)
f(x)dx
M(b-a).
- Si M est réel et si pour tout x
dans [a;b], |f(x)|M,
alors |f(x)dx
|M(b
- a)
- Si M est réel et si pour tout x dans I, |f(x)|M,
alors pour tout a et tout b dans I,
|f(x)dx
|M.|b
- a| -
Variante du théorème des accroissement
finis:
Si f est continue sur I, alors pour tout a et tout b dans I, il existe c compris entre a et b tel que :
f(x)dx = f(c).(b - a)
Cette derniére propriété introduit
la notion de
Valeur Moyenne d'une fonction
Si f admet des primitives sur un intervalle I, si a < b
sont dans I, on appelle Valeur Moyenne de f sur [a;b], le
nombre:
Valeur moyenne de f entre a et b =  |
Cette notion de valeur moyenne d'une fonction est utilisable
en probabilité.
Par exemple, demandez à une personne de donner un nombre réel
x compris entre 0 et1. Si le choix de la personne pour x
est totalement uniforme, alors la "valeur moyenne" que donnera
la personne sera :
=
Demandez maintenant à cette personne de choisir x compris entre 0 et 1 puis de fournir le carré de x, la "valeur moyenne" donnée par la personne sera :
Pour vérifier cette propriété,
il suffit de revenir à la défintion de l'intégrale:
F étant la primitive de f sur I qui s'annule en a, si f
est positive sur [a;b], alors F est croissante sur [a;b].
Comme F(a) = 0, on a bien F(b)0.
Un exemple simple d'utilisation:
Prenons, pour x dans [0;1] :
, 
, 
On remarque que pour tout x dans [1;2], on a:
g(x)
f(x) h(x).
La figure ci-dessous représente ces trois fonctions:
On obtient alors l'encadrement:
D'où, après calcul: 
.
Ou encore :
ln(2) (voir
Logarithme)
Remarquez que si f est affine , f(x) = Ax+B, alors
Interprétation graphique:
Si f est > 0 sur [a;b], et si f est continue, il existe
une valeur c comprise entre a et b telle que l'aire
de A soit égale à l'aire du rectangle ABMN (voir
figure ci-dessous)
Il ne faut pas être étonné par ce résultat! La moyenne d'un produit n'est pas, en général, égale à la moyenne des produits.
En particulier, la moyenne du carré d'une variable n'est pas égale au carré de la moyenne de cette variable!!
Parité:
Si la fonction f admet des primitives sur l'intervalle I et si a
et (-a) appartiennent à I, alors:
- Si f est paire,
- Si f est impaire,
La fonction cosinus est paire donc:
= 2La fonction sinus est impaire donc:
Périodicité
Si f est une fonction admettant des primitives sur IR et périodique
de période T, ("
x 
IR , f(x+T) = f(x)), alors
pour tout a et tout b réels, on a:
et
Si on intégre une fonction f de période T sur un intervalle [a;b] de longueur supérieur à nT, où n est un entier > 0 , en utilisant Chasles, on obtient, en remarquant que:
=
=
Exemple:
Si f est la fonction définie sur IR et de période
T=2 telle que pour tout x appartenant à l'intervalle
I= [
;
],
.
(voir la figure)
L'intégrale de f sur l'intervalle
[-2,5 ; 3,5] peut alors se calculer en utilisant simultanément
la relation de Chasles et le fait que f soit de période 2.
ce qui donne:
=
2
Courbe de f sur l'intervalle [-2,5 ; 3,5]
|
Remarquez que l'intégrale
de f sur cet intervalle correspondant à l'aire coloriée.
Cette aire se décompose en trois "sous-aires"
indiquées par trois couleurs différentes.
Ces trois aires ont la même mesure. |
Intégration
par Parties:
On rappelle la formule de dérivation d'un produit:
(U.V)' = U'.V + U.V'
Cette formule permet alors d'écrire :
U'.V = (U.V)' - U.V'
Si U et V sont deux fonctions définies sur un intervalle I telles que U et V soient dérivables sur I, alors pour tout a et tout b de I, on a:
U'(x)V(x)dx
= (U(x).V(x))'dx
- U(x).V'(x)dx
Or, comme une primitive de (U.V)' est (U.V), on peut alors écrire:
U'(x)V(x)dx
= [U(x).V(x)
- U(x).V'(x)dx |
C'est la formule d'Intégration par Parties.
Remarquez que cette formule permet de "changer" d'intégrale à calculer si la première intégrale est :
f(x).g(x)dx
On cherche une primitive F de f et on calcule la dérivée de g. On obtient alors:
f(x).g(x)dx
= [F(x).g(x)] - F(x).g'(x)dx
Exemples d'Intégration par Parties:
:Posons
f(x)=x et g(x)=ln(x).
Une primitive de f est :
La dérivée de g est : g'(x) =
En intégrant par parties, on obtient alors:
=[F(x)g(x)
- 
d'où :
=[
-
ce qui donne, après calcul:
=
:
Posons f(x)=sin(x) et g(x)=x.
Une primitive de f est : F(x) = -cos(x).
La dérivée de g est :g '(x) = 1.
En intégrant par parties, on obtient alors:
D'où, après calcul:
= p