E est un ensemble fini et on note n le cardinal de E.
Définition:
On appelle Ensemble des p-listes de n, où p est un entier appartenant à {0 ; 1 ; ... ; n} , l'ensemble noté E(p) formé des éléments (e₁ ; e₂ ; .... ; e_p) de E^p = ExEx...xE  où pour tout i et tout j distincts appartenant à {1 ; 2 ; ... ; p} , on a : e_i e_j .
Un p-liste est donc une suite ordonnée de p éléments de E dans laquelle un élément ne peut être présent qu'au plus une fois.

Par exemple, si E = {a ; b ; c ; d , e} alors (b ; c, a, d ) est une 4-liste de E.
En revanche (b ; c ; b ; a ) n'est pas une 4-liste de E car l'élément b apparait 2 fois.

On dit aussi qu'une p-liste est un arrangement d'éléments de E pris par n éléments.

On note A^p_n le nombre de p-listes dans un ensemble à n éléments

Nombre de p-listes:
On voit alors que si n est la cardinal de E, le nombre de p-listes possibles est :
                                             A^p_n = n(n-1)(n-2)....(n-p+1)
Effectivement, il y a n choix pour le premier élément de la liste.
Comme on ne peut reprendre ce premier, il reste (n-1) choix pour le second élément de la liste, donc il y a n(n-1) choix pour les deux premiers éléments de la liste.
Comme on ne peut pas reprendre ces deux éléments, il reste (n-2) choix pour le troisième élément de la liste donc il y a n(n-1)(n-2) choix pour les trois premiers éléments de la liste.
Etc , etc ... jusqu'au p-éme élément de la liste qui est à choisir parmi les (n-p+1) éléments restants.

Remarquons qu'en utilisant la fonction factorielle, définie sur les entiers positifs par la relation :

• Pour tout n entier > 0 , factorielle de n = n! = 1x2x3x...xn
• et avec la convention, que factorielle 0 = 0! = 1

on peut voir que

Exemples d'utilisation:

La notion de p-listes ou d'Arrangement intervient dès qu'il s'agit de choisir des éléments dans un ensemble en nombre fini suivant un ordre précis et sans possibilité de choisir 2 fois le même élément. Donc, tous les problèmes de classements sont des problèmes de p-listes.
Si on organise une course entre 8 personnes, un podium revient à déterminer le premier, le deuxième et le troisième de cette course. Un podium est donc une 3-liste parmi les 8 personnes. Il y a A³₈ podiums possibles.
Un simple calcul montre alors que A³₈ = 336. Il y a 336 podiums possibles.
Dans une classe de 30 élèves, on veut choisir 4 élèves pour remplir les rôles suivants:
- un élève sera délégué auprès du Conseil d'Administration du Lycée,
- un élève sera responsable du cahier d'appel de la classe,
- un élève sera chargé de la collecte des fonds pour organiser des sorties extra-scolaires,
- un élève sera chargé des relations auprès des professeurs.
Un même élève ne peut pas remplir deux rôles et tous les rôles doivent être tenus.
Choisir les 4 élèves dans cette classe revient donc à former une 4-liste parmi les 30 élèves de la classe. Il y a donc A⁴₃₀ façons de choisir les élèves, c'est à dire 657720.

Injections d'un ensemble E sur un ensemble F:
Si E et F sont des ensembles, on appelle INJECTION de E vers F toute application f de E vers F vérifiant la propriété suivante:

Par exemple, si E = {1;2;3;4} et F = {a ; b ; c ; d ; e}, l'application f de E vers F définie par:
                         f(1) = a   ;    f(2) = b   ;   f(3) = b   ;   f(4) = e
n'est pas une injection car l'élément b de F a deux antécédents par f.
En revanche, l'application g suivante:
                        g(1) = a   ;    g(2) = c   ;   g(3) = e   ;   g(4) = d
est bien une injection car tout élément de F a AU PLUS un antécédent dans E par g.

Remarquons que
si E et F sont finis, il existe une injection de E vers F
si et seulement si Card(E) < Card(F)  

Posons Card(E) = p et Card(F) = n avec p < n.
Dans ce cas, appelons E = {e₁ ; e₂ ; e₃; ... ; e_p}.  Une injection n'est rien d'autre que le choix de p éléments de F avec ordre et sans possibilité de choisir 2 fois le même élément.
C'est choisir qu'elle sera l'image de e₁, l'image de e₂, etc....
Une injection de E vers F est donc simplement une p-liste dans F, le classement étant effectué suivant les éléments de E.
Il y a donc A^p_n injections possibles de E vers F.