Défintion:
Si E et A sont deux ensembles, on appelle Complémentaire de A dans E l'ensemble formé des éléments de E qui ne sont pas dans A. On note C_EA cet ensemble. Une représentation du complémentaire par diagramme est:
On fait attention que le complémentaire d'un ensemble A n'a de sens que par rapport à un autre ensemble. On ne peut pas parler du complémentaire de A dans l'absolu.
Par exemple, si E = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}  et  A = {4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9} alors le complémentaire de A dans E est {1 ; 2 ; 3}.
Si F = {0; 4 ; 6 ; 10} alors le complémentaire de A dans F est {0 ; 10}.
On a donc : C_EA = {1 ; 2 ; 3}   et   C_FA = {0 ; 10}.

Remarques:

• Si l'ensemble E est fixé une bonne fois pour toutes et si il n'y a pas d'ambiguité, on peut être amené à parler directement du complémentaire d'un ensemble A, sous-entendu, par rapport à E.
• Si A est une partie ou sous-ensemble de E, alors pour tout élément e de E, on a:
  e A ou e A. De plus, E est la réunion disjointe de A et C_EA, c'est à dire:
                                    E = A U C_EA    et   A C_EA = {}
• Dire que A et E sont disjoints (ou ont une intersection vide) revient à dire que C_EA = {}.
• Dire que A est inclus dans E revient à dire que C_A E = {}. Effectivement, A est inclus dans E signifie que tout élément de A est un élément de E. Il n'existe alors aucun élément de A qui ne soit pas un élément de E.
• Si E est un ensemble fini alors tout sous-ensemble A de E est lui-même fini. De plus, on obtient la relation entre les cardinaux de A et de E:
                                    Card(E) = Card(A) + Card(C_EA)
• D'une façon plus générale, si A et E sont deux ensembles finis, alors l'observation du diagramme suivant montre que l'on a:
                  Card(A U E) = Card(C_EA) + Card(C_AE) + Card(A E).
                  
  Remarquons que la formule "Card(E) = Card(A) + Card(C_EA)" est bien un cas particulier de la formule "Card(A U E) = Card(C_EA) + Card(C_AE) + Card(A E)".
  Pour le voir, il suffit de remarquer que si A est inclus dans E alors, A U E = E  et  C_AE = {}.
• Si dans le cas des ensembles finis de cardinaux relativement petits, il suffit d'exhiber les éléments pour montrer quel est le compléméntaire d'un ensemble, dans le cas d'ensembles infinis, ceci est souvent impossible. On ne peut alors que définir les ensembles sous la forme "compréhension".
  Par exemple, si A est l'ensemble des nombres entiers positifs pairs, son complémentaire dans N, ensemble des entiers naturels, est l'ensemble des entiers naturels impairs. On ne peut pas écrire la liste des éléments de cet ensemble. Seule sa définition permet de l'indentifier.
  Autre exemple. Si E est l'ensemble des éléves d'un Lycée et A l'ensemble des élèves de ce Lycée étudiant l'anglais ou le latin, alors le complémentaire de A dans E est l'ensemble des élèves de ce Lycée n'étudiant ni l'anglais, ni le latin.
• A ce stade, on peut voir qu'une manipulation correcte des opérateurs logiques "ET" et "OU" est primordiale.