Rappel sur les Ensembles

  Un ensemble E est une collection d'objets appelés "éléments". Par exemple, on peut parler de l'ensemble des élèves d'une classe ou de l'ensemble des habitants d'une ville. Un élément e de E est donc la composante de base de E. Pour exprimer qu'un élément e est dans E, on écrit :e E.
Pour exprimer qu'un élément e n'est pas dans E, on écrit : e E.

  Si l'ensemble E possède un nombre fini d'éléments, on appelle ce nombre CARDINAL de E et on le note Card(E) ou |E|.

  Un ensemble peut se définir de deux façons: Soit en exhibant tous ses éléments, soit en donnant une propriété caractéristique de ses éléments. La première façon est dite "En extention", la deuxième façon est dite "En compréhension".
Par exemple, l'ensemble E des nombres entiers compris entre 2 et 6 peut s'écrire :
                   E = {2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}   ou   bien   E = {e N  / 2 < e < 6 }.
On ne peut biensur, écrire un ensemble en extention que si le nombre de ses éléments est raisonnable.

   Une autre façon de représenter les ensembles est sous forme de diagramme de Caroll. Cela consiste à symboliser un ensemble E par une forme ovale.


Le diagramme montre alors que les éléments communs aux 3 ensembles sont 0 et 15. La visibilité directe de cette présentation permet de répondre à des questions du style:
" Combien d'éléments sont dans E, dans F mais pas dans F"? On voit directement qu'il y en a 2.

Remarquons que cette présentation en diagramme peut être faite en notant seulement le nombre d'éléments  ou les répartitions.

Cette forme de représentation permet de bien visualiser les rapports que peuvent avoir plusieurs ensembles entre eux et de bien résumer une situation qui semble complexe.
En s'avançant un peu sur ce qui sera dit plus loin, prenons une exemple.
E est l'ensemble des nombres entiers compris entre 0 et 15.
F est l'ensemble des entiers multiples de 3 et inférieurs à 30.
G est l'ensemble des entiers multiples de 5 et inférieurs à 25.
On peut alors résumer la situation de ces trois ensembles à l'aide du diagramme suivant :

 

 Un ensemble a une place particuliére. C'est l'ensemble vide noté {} ou F. Par défintion, c'est le seul ensemble ne possédant aucun élément. On fera attention que la notation {F}a un sens, mais elle ne correspond pas à l'ensemble vide. C'est simplement l'ensemble des parties de F.
Le cardinal de l'ensemble vide est 0  :  Card({}) = 0
Voir Parties d'un Ensemble!!

Intersection et Réunion de deux ensembles

 Par défintion, si E et F sont deux ensembles, on appelle Intersection de E et de F l'ensemble formé des éléments communs à E et à F. Cet ensemble est noté : E F.
Ecrit en compréhension, on a donc : E F = { e / e E et e F }.
Par exemple, si E = {1 ; 2 ; 5 ; 10 ; 15 }  et  F = {2 ; 15 ; 22 ; 25} alors E F = {2 ; 15}.
En utilisant le diagramme de Caroll, on peut noter que l'intersection de E et de F correspond simplement à la partie commune.
 Par défintion, la Réunion de E et de F est l'ensemble noté E U F , formé des éléments qui appartiennent à E ou à F. Dans l'exemple précédent, on a : E U F = {1 ; 2 ; 5 ; 10 ; 15 ; 22 ; 25}
                                           

 Si E et F sont deux ensembles finis, le diagramme précédent montre alors que l'on a:
                             Card(E U F) = Card(E) + Card(F) - Card(E F).

 Pour un ensemble quelconque E, on a : E U {} = E   et  E {} = {}.

Inclusion

 Si E et F sont deux ensembles, on dit que E est inclus dans F tout élément de E est un élément de F. Autrement dit, on a:  "Si e E alors e F". On écrit alors  E F.
On dit aussi que E est un sous-ensemble de F ou une partie de F.
On peut remarquer que écrire E = F revient à écrire la double inclusion "E F"  et "F E".
On peut aussi remarquer que l'ensemble vide est le seul ensemble inclus dans n'importe quel ensemble E.  Pour tout ensemble E , {} E.
Si E est inclus dans F et ces deux ensembles sont finis alors Car(E) < Card(F).
On peut représenter l'inclusion d'un ensemble dans un autre en utilisant un diagramme. Par exemple, si E={1 ; 2 ; 3} et F={0;1;2;3;4}, on a bien E F. La représentation par diagrammes de E et F est alors:
                                  
  On fait attention à ne pas confondre avec . Le premier symbol signifie qu'il y a une relation d'inclusion entre deux ensembles. Le second symbol signifie qu'il y a une relation d'appartenance entre un élément e et un ensemble E.
  Par exemple, posons E = {2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 7}. E possède 5 éléments. On a :
  2 E  ;  3 E  ;  4 E  ; 5 E  ;  7 E .
  L'ensemble A = {2 ; 3 ; 5} est inclus dans E. C'est une partie de E ou un sous-ensemble de E.
  On a donc :  A E.
  L'ensemble B = {4} est une partie de E, qui ne possède qu'un seul élément, mais B n'est pas un élément de E.  On a B E et non B E.
  Pour voir la différence entre et , prenons l'ensemble C des classes d'un Lycée. Si ce Lycée contient 50 classes, l'ensemble des classes est un ensemble à 50 éléments. Card(C) = 50.
Chacune des classes C1 , C2, .... ,C50 peut être considérée comme elle-même un ensemble contenant des élèves. Pour un élève e donné, on a par exemple, e C1. Mais e n'est pas un élément de l'ensemble C. C'est C1 qui est un élément de C. Si on considère l'ensemble E de tous les élèves du Lycée, on peut considérer alors C1 comme est une partie de E et on a : C1 E.