Exemples d'utilisation de la Formule du Binôme

  1. Posons pour x réel, f(x) = (1+x)n , où n est un entier positif.
    La formule du Binôme permer de dévélopper f(x) et on obtient:
     
    Si on calcule maintenant la dérivée de f en utilisant d'abord la première forme de f(x) ,
    puis en utlisant la forme développée, on obtient:

    On a donc pour tout réel x, la relation:
                                 
    Si on choisit comme cas particulire x = 1, on obtient alors:
                                             
  2. Toujours en prenant la fonction f précédente, si on prend x = 1, alors on obtient:

    On retrouve alors le fait connu qu'un ensemble ayant n éléments possède exactement 2n sous-ensembles.
  3. Si maintenant on prend x = -1 , on obtient:

    On voit alors qu'il y a autant de parties, dans un ensemble à n éléments, possèdant un nombre pair d'éléments que de parties possèdant un nombre impair d'éléments.